Giải tích Ví dụ

$g (u) = \frac{3 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $u$ , nên đạo hàm của $\frac{3 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$ đối với $u$ là $3 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ là $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ trong đó $f (u) = u^{2}$ và $g (u) = {(u^{2} + u)}^{3}$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{3 \cdot 2}}$

Bước 3.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} (2 u) - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(u^{2} + u)}^{3}$ .

$3 \frac{2 \cdot {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ là $f' (g (u)) g' (u)$ trong đó $f (u) = u^{3}$ và $g (u) = u^{2} + u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $u^{2} + u$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $u^{2} + u$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $u^{2} + u$ đối với $u$ là $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 5.5

Kết hợp $3$ và $\frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$ .

$\frac{3 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u) + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ ra ngoài $3 \cdot 2 {(u^{2} + u)}^{3} u + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Đưa $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ ra ngoài $3 \cdot 2 {(u^{2} + u)}^{3} u$ .

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.1.2

Đưa $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ ra ngoài $3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))$ .

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 {(u^{2} + u)}^{2} u (- 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.1.3

Đưa $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ ra ngoài $3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 {(u^{2} + u)}^{2} u (- 3 u (2 u + 1))$ .

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.2

Đưa $u$ ra ngoài $u^{2} + u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $u$ ra ngoài $u^{2}$ .

$\frac{3 {(u \cdot u + u)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.2.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 {(u \cdot u + u^{1})}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.2.3

Đưa $u$ ra ngoài $u^{1}$ .

$\frac{3 {(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.2.4

Đưa $u$ ra ngoài $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{3 {(u (u + 1))}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $u (u + 1)$ .

$\frac{3 u^{2} {(u + 1)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.4

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (u^{1} u^{2}) {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 u^{1 + 2} {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.4.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} ((2 u + 2 \cdot 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} ((2 u + 2) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u \cdot u + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.5.4

Nhân $u$ với $u$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.4.1

Di chuyển $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 (u \cdot u) + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.5.4.2

Nhân $u$ với $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.5.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 u (2 u) - 3 u \cdot 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.5.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u \cdot u - 3 u \cdot 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.5.7

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u \cdot u - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.5.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.8.1

Nhân $u$ với $u$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.8.1.1

Di chuyển $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 (u \cdot u) - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.5.8.1.2

Nhân $u$ với $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u^{2} - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.5.8.2

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 6 u^{2} - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.6

Trừ $6 u^{2}$ khỏi $2 u^{2}$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u^{2} + 2 u - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.7

Trừ $3 u$ khỏi $2 u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u^{2} - u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.8

Đưa $u$ ra ngoài $- 4 u^{2} - u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.1

Đưa $u$ ra ngoài $- 4 u^{2}$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u) - u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.8.2

Đưa $u$ ra ngoài $- u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u) + u \cdot - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.8.3

Đưa $u$ ra ngoài $u (- 4 u) + u \cdot - 1$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u - 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} u (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.9

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.9.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (u^{1} u^{3}) {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.9.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 u^{1 + 3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.2.9.3

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Bước 6.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $u$ ra ngoài $u^{2} + u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Đưa $u$ ra ngoài $u^{2}$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u)}^{6}}$

Bước 6.3.1.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u^{1})}^{6}}$

Bước 6.3.1.3

Đưa $u$ ra ngoài $u^{1}$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{6}}$

Bước 6.3.1.4

Đưa $u$ ra ngoài $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u (u + 1))}^{6}}$

Bước 6.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $u (u + 1)$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung của $u^{4}$ và $u^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $u^{4}$ ra ngoài $3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ .

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

Bước 6.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Đưa $u^{4}$ ra ngoài $u^{6} {(u + 1)}^{6}$ .

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

Bước 6.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

Bước 6.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

Bước 6.5

Triệt tiêu thừa số chung của ${(u + 1)}^{2}$ và ${(u + 1)}^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đưa ${(u + 1)}^{2}$ ra ngoài $3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

Bước 6.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Đưa ${(u + 1)}^{2}$ ra ngoài $u^{2} {(u + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

Bước 6.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

Bước 6.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Bước 6.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 u$ .

$\frac{3 (- (4 u) - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Bước 6.7

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (4 u) - 1 (1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Bước 6.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 u) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Bước 6.9

Viết lại $- (4 u + 1)$ ở dạng $- 1 (4 u + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Bước 6.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 (4 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$