Giải tích Ví dụ

$g (t) = {(4 t + 3 t)}^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $4 t$ và $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [{(7 t)}^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

Bước 1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $7 t$ .

$\frac{d}{d t} [7^{2} t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

Bước 1.2.2

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{d}{d t} [49 t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

Bước 1.3

Vì $49$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $49 t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ đối với $t$ là $49 \frac{d}{d t} [t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$ .

$49 \frac{d}{d t} [t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ .

$49 (t^{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} - 9)}^{- 3}] + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 3}$ và $g (t) = 3 t^{2} - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 t^{2} - 9$ .

$49 (t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$49 (t^{2} (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 t^{2} - 9$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 t^{2} - 9$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4.2

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t^{2}$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4.4

Nhân $2$ với $3$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4.5

Vì $- 9$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $t$ là $0$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t + 0)) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Cộng $6 t$ và $0$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t)) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4.6.2

Nhân $6$ với $- 3$ .

$49 (t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} t) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 5

Nhân $t^{2}$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $t$ .

$49 (t \cdot t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 5.2

Nhân $t$ với $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$49 (t^{1} t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$49 (t^{1 + 2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 5.3

Cộng $1$ và $2$ .

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} (2 t))$

Bước 7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ .

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + 2 \cdot {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} t)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 2 {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} t)$

Bước 8.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Bước 8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}})) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Bước 8.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Kết hợp $- 18$ và $\frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ .

$49 (t^{3} \frac{- 18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Bước 8.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$49 (t^{3} (- \frac{18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}})) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Bước 8.4.3

Kết hợp $t^{3}$ và $\frac{18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ .

$49 (- \frac{t^{3} \cdot 18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Bước 8.4.4

Di chuyển $18$ sang phía bên trái của $t^{3}$ .

$49 (- \frac{18 \cdot t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Bước 8.4.5

Nhân $- 1$ với $49$ .

$- 49 \frac{18 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Bước 8.4.6

Kết hợp $- 49$ và $\frac{18 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ .

$\frac{- 49 (18 t^{3})}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Bước 8.4.7

Nhân $18$ với $- 49$ .

$\frac{- 882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Bước 8.4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Bước 8.4.9

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (\frac{2}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Bước 8.4.10

Kết hợp $\frac{2}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ và $t$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 \frac{2 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 8.4.11

Kết hợp $49$ và $\frac{2 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + \frac{49 (2 t)}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 8.4.12

Nhân $2$ với $49$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 8.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 t^{2} - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 t^{2}$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 (t^{2}) - 9)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 8.5.1.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 9$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} + 3 \cdot - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 8.5.1.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 t^{2} + 3 \cdot - 3$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 (t^{2} - 3))}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 8.5.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (t^{2} - 3)$ .

$- \frac{882 t^{3}}{3^{4} {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 8.5.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$- \frac{882 t^{3}}{81 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 8.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $882$ và $81$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $882 t^{3}$ .

$- \frac{9 (98 t^{3})}{81 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 8.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $81 {(t^{2} - 3)}^{4}$ .

$- \frac{9 (98 t^{3})}{9 (9 {(t^{2} - 3)}^{4})} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 8.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{9 (98 t^{3})}{9 (9 {(t^{2} - 3)}^{4})} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 8.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Bước 8.5.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 t^{2} - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 t^{2}$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 (t^{2}) - 9)}^{3}}$

Bước 8.5.3.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 9$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} + 3 \cdot - 3)}^{3}}$

Bước 8.5.3.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 t^{2} + 3 \cdot - 3$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 (t^{2} - 3))}^{3}}$

Bước 8.5.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (t^{2} - 3)$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{3^{3} {(t^{2} - 3)}^{3}}$

Bước 8.5.3.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{27 {(t^{2} - 3)}^{3}}$