Giải tích Ví dụ

$g (t) = (\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}) - 1$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}) - 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = 1 + \sin (3 t)$ và $g (t) = 3 - 2 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [1 + \sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \sin (3 t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \sin (t)$ và $g (t) = 3 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.4.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (u) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.5

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - 2 t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.8

Vì $3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $3$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.9

Vì $- 2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 2 t$ đối với $t$ là $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.11

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) \cdot 3) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.12

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (3 t)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + 3 \cdot \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.13

Cộng $0$ và $3 \cos (3 t)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (3 \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.14

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $3 - 2 t$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.15

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.16

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) \cdot - 2}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.17

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(3 \cdot 3 + 3 (- 2 t)) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Bước 4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{9 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Bước 4.4.2

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Bước 4.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Bước 4.4.4

Cộng $\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$ và $0$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Bước 4.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 6 t \cos (3 t) + 2 + 9 \cos (3 t) + 2 \sin (3 t)}{{(- 2 t + 3)}^{2}}$