Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (30 x + \frac{85 (y^{2})}{569 x^{3.63} x^{6}})$

Bước 1

Nhân $x^{3.63}$ với $x^{6}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (30 x + \frac{85 y^{2}}{569 (x^{6} x^{3.63})})]$

Bước 1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [\ln (30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{6 + 3.63}})]$

Bước 1.3

Cộng $6$ và $3.63$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Di chuyển $x^{6}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 (x^{6} x^{3.63})}} \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Bước 2.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{6 + 3.63}}} \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Bước 2.3.3

Cộng $6$ và $3.63$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}])$

Bước 3.2

Vì $30$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $30 x$ đối với $x$ là $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}])$

Bước 3.4

Nhân $30$ với $1$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}])$

Bước 3.5

Vì $\frac{85 y^{2}}{569}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ đối với $x$ là $\frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9.63}}]$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9.63}}])$

Bước 3.6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Viết lại $\frac{1}{x^{9.63}}$ ở dạng ${(x^{9.63})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [{(x^{9.63})}^{- 1}])$

Bước 3.6.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{9.63})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [x^{9.63 \cdot - 1}])$

Bước 3.6.2.2

Nhân $9.63$ với $- 1$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [x^{- 9.63}])$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 9.63$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} (- 9.63 x^{- 10.63}))$

Bước 3.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Kết hợp $- 9.63$ và $\frac{85 y^{2}}{569}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{- 9.63 (85 y^{2})}{569} x^{- 10.63})$

Bước 3.8.2

Nhân $85$ với $- 9.63$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{- 818.55 y^{2}}{569} x^{- 10.63})$

Bước 3.8.3

Kết hợp $\frac{- 818.55 y^{2}}{569}$ và $x^{- 10.63}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{- 818.55 y^{2} x^{- 10.63}}{569})$

Bước 3.8.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1

Di chuyển $x^{- 10.63}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{- 818.55 y^{2}}{569 x^{10.63}})$

Bước 3.8.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 - \frac{818.55 y^{2}}{569 x^{10.63}})$

Bước 3.8.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 - \frac{818.55 y^{2}}{569 x^{10.63}})$ .

$(30 - \frac{818.55 y^{2}}{569 x^{10.63}}) \frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}}$