Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (\cot (x) - \csc (x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \cot (x) - \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cot (x) - \csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cot (x) - \csc (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cot (x) - \csc (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

Bước 3

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \csc (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Bước 5

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) - (- \csc (x) \cot (x)))$

Bước 6

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + 1 (\csc (x) \cot (x)))$

Bước 6.2

Nhân $\csc (x)$ với $1$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x))$ .

$(- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \csc^{2} (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} + \csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Bước 7.3

Kết hợp $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ và $\csc^{2} (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Bước 7.4

Nhân $\csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Kết hợp $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ và $\csc (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \frac{\csc (x)}{\cot (x) - \csc (x)} \cot (x)$

Bước 7.4.2

Kết hợp $\frac{\csc (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$ và $\cot (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \frac{\csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Bước 7.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Bước 7.6

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Bước 7.6.2

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $\csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (\cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Bước 7.6.3

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (\cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) + \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Bước 7.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) + \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Bước 7.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (- \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Bước 7.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\csc (x)) - 1 (- \cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x) - \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Bước 7.10

Viết lại $- (\csc (x) - \cot (x))$ ở dạng $- 1 (\csc (x) - \cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (- 1 (\csc (x) - \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Bước 7.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$