Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (\cos (\sqrt[3]{x}))$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x^{\frac{1}{3}}))]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \cos (x^{\frac{1}{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

Bước 3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ sang $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Bước 6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Bước 7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Bước 8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Bước 9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Bước 9.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Bước 10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Bước 11

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Bước 12

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ và $\sin (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3})$

Bước 13

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 14

Kết hợp $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ và $\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{\sec (x^{\frac{1}{3}}) \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Viết lại $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ theo sin và cosin.

$- \frac{\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})} \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.2

Kết hợp $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ và $\sin (x^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ sang $\tan (x^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\tan (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$