Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (e^{x^{3}}) + 6 \ln (x - 1)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\ln (e^{x^{3}}) + 6 \ln (x - 1)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x^{3}$ ra khỏi số mũ.

$\frac{d}{d x} [x^{3} \ln (e)] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

Bước 2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \cdot 1] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

Bước 2.3

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 \ln (x - 1)$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]$ .

$3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 1$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Bước 3.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (1 + 0))$

Bước 3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} \cdot 1)$

Bước 3.7

Nhân $\frac{1}{x - 1}$ với $1$ .

$3 x^{2} + 6 \frac{1}{x - 1}$

Bước 3.8

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{x - 1}$ .

$3 x^{2} + \frac{6}{x - 1}$

Bước 4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để viết $3 x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{x - 1} + \frac{6}{x - 1}$

Bước 4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 x^{2} (x - 1) + 6}{x - 1}$