Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (\frac{e}{x^{n}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{e}{x^{n}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{e}{x^{n}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{e}{x^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{e}{x^{n}}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Bước 2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{e}{x^{n}}$ .

$1 \frac{x^{n}}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Bước 3

Nhân $\frac{x^{n}}{e}$ với $1$ .

$\frac{x^{n}}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Bước 4

Vì $e$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{e}{x^{n}}$ đối với $x$ là $e \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}]$ .

$\frac{x^{n}}{e} (e \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}])$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $e$ và $\frac{x^{n}}{e}$ .

$\frac{e x^{n}}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}]$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e x^{n}}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}]$

Bước 5.2.2

Chia $x^{n}$ cho $1$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}]$

Bước 5.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại $\frac{1}{x^{n}}$ ở dạng ${(x^{n})}^{- 1}$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [{(x^{n})}^{- 1}]$

Bước 5.3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{n})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [x^{n \cdot - 1}]$

Bước 5.3.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $n$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [x^{- 1 \cdot n}]$

Bước 5.3.2.3

Viết lại $- 1 n$ ở dạng $- n$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [x^{- n}]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - n$ .

$x^{n} (- n x^{- n - 1})$

Bước 7

Nhân $x^{n}$ với $x^{- n - 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển $x^{- n - 1}$ .

$x^{- n - 1} x^{n} (- n)$

Bước 7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{- n - 1 + n} (- n)$

Bước 7.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- n - 1 + n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Cộng $- n$ và $n$ .

$x^{0 - 1} (- n)$

Bước 7.3.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$x^{- 1} (- n)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} (- n)$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $n$ .

$- \frac{n}{x}$