Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (| x^{2} - x |)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = | x^{2} - x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $| x^{2} - x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $| x^{2} - x |$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = | x |$ và $g (x) = x^{2} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} - x$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $| u_{2} |$ đối với $u_{2}$ là $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} - x$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Bước 3

Nhân $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ với $\frac{1}{| x^{2} - x |}$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x | | x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Bước 4

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\frac{x^{2} - x}{| (x^{2} - x) (x^{2} - x) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Bước 5

Nâng $x^{2} - x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1} (x^{2} - x) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Bước 6

Nâng $x^{2} - x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1} {(x^{2} - x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Bước 7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Bước 8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 11

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1 \cdot 1)$

Bước 13

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1)$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Bước 14.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x \cdot x - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Bước 14.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Bước 14.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Bước 14.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x \cdot x - x)}^{2} |}$

Bước 14.3.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x \cdot x + x \cdot - 1)}^{2} |}$

Bước 14.3.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x (x - 1))}^{2} |}$

Bước 14.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $x (x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} {(x - 1)}^{2} |}$

Bước 14.3.3

Viết lại ${(x - 1)}^{2}$ ở dạng $(x - 1) (x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} ((x - 1) (x - 1)) |}$

Bước 14.3.4

Khai triển $(x - 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) |}$

Bước 14.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) |}$

Bước 14.3.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Bước 14.3.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.5.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Bước 14.3.5.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Bước 14.3.5.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Bước 14.3.5.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) |}$

Bước 14.3.5.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - x + 1) |}$

Bước 14.3.5.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) |}$

Bước 14.3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Bước 14.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.7.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.7.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Bước 14.3.7.1.2

Cộng $2$ và $2$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Bước 14.3.7.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 |}$

Bước 14.3.7.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} |}$

Bước 14.3.8

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.8.1

Di chuyển $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} |}$

Bước 14.3.8.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.8.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} |}$

Bước 14.3.8.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} |}$

Bước 14.3.8.3

Cộng $1$ và $2$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} |}$

Bước 14.3.9

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.9.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2} |}$

Bước 14.3.9.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 2 x^{3}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} |}$

Bước 14.3.9.3

Nhân với $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Bước 14.3.9.4

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Bước 14.3.9.5

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) |}$

Bước 14.3.10

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.10.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2}) |}$

Bước 14.3.10.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 14.3.10.3

Viết lại đa thức này.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) |}$

Bước 14.3.10.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} {(x - 1)}^{2} |}$

Bước 14.4

Loại bỏ các số hạng không âm từ giá trị tuyệt đối.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Bước 14.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Bước 14.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Bước 14.5.3

Viết lại biểu thức.

$(2 x - 1) \frac{x - 1}{x {(x - 1)}^{2}}$

Bước 14.6

Triệt tiêu thừa số chung của $x - 1$ và ${(x - 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.1

Nhân với $1$ .

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{x {(x - 1)}^{2}}$

Bước 14.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.2.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài $x {(x - 1)}^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Bước 14.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Bước 14.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$(2 x - 1) \frac{1}{x (x - 1)}$

Bước 14.7

Nhân $2 x - 1$ với $\frac{1}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$