Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (\frac{x^{2}}{3 x - 1})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x^{2}}{3 x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x^{2}}{3 x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3 x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Bước 2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{x^{2}}{3 x - 1}$ .

$1 \frac{3 x - 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Bước 3

Nhân $\frac{3 x - 1}{x^{2}}$ với $1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 3 x - 1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{(3 x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $3 x - 1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 \cdot (3 x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.6

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.8.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 5.8.3

Nhân $\frac{3 x - 1}{x^{2}}$ với $\frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 (3 x - 1) x - 3 x^{2})}{x^{2} {(3 x - 1)}^{2}}$

Bước 6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $3 x - 1$ ra ngoài $x^{2} {(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 (3 x - 1) x - 3 x^{2})}{(3 x - 1) (x^{2} (3 x - 1))}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(3 x - 1) (2 (3 x - 1) x - 3 x^{2})}{(3 x - 1) (x^{2} (3 x - 1))}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x - 1)}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x - 1)}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x - 1)}$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 7.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 (3 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 7.4.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 7.4.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 7.4.1.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 7.4.2

Trừ $3 x^{2}$ khỏi $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 7.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x \cdot x^{2} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 7.5.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{1} x^{2} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 7.5.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{1 + 2} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 7.5.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{3} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 7.5.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 \cdot x^{3} + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 7.5.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x^{3} - 1 \cdot x^{2}}$

Bước 7.5.4

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x^{3} - x^{2}}$

Bước 7.6

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2} - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) - 2 x}{3 x^{3} - x^{2}}$

Bước 7.6.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 2}{3 x^{3} - x^{2}}$

Bước 7.6.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (3 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{3 x^{3} - x^{2}}$

Bước 7.7

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $3 x^{3} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $3 x^{3}$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{x^{2} (3 x) - x^{2}}$

Bước 7.7.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 7.7.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{x^{2} (3 x - 1)}$

Bước 7.8

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} (3 x - 1)$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{x (x (3 x - 1))}$

Bước 7.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (3 x - 2)}{x (x (3 x - 1))}$

Bước 7.8.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x - 2}{x (3 x - 1)}$