Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (\sqrt[3]{x^{2} + 5 x + 1})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2} + 5 x + 1}$ ở dạng ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = x^{2} + 5 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Bước 7.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Bước 10

Di chuyển ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Bước 11

Nhân $\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ với $\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Bước 12

Nhân ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ với ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3 ({(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Bước 12.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Bước 12.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1 + 2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Bước 12.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Bước 12.5

Chia $3$ cho $3$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Bước 13

Rút gọn $3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{1}$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Bước 14

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 5 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 16

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 17

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 18

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 19

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5 + 0)$

Bước 20

Cộng $2 x + 5$ và $0$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5)$

Bước 21

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 (5 x) + 3 \cdot 1} (2 x + 5)$

Bước 21.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 15 x + 3 \cdot 1} (2 x + 5)$

Bước 21.2.2

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 15 x + 3} (2 x + 5)$

Bước 21.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{3 x^{2} + 15 x + 3} (2 x + 5)$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{3 x^{2} + 15 x + 3}$

Bước 21.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} + 15 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2}) + 15 x + 3}$

Bước 21.4.2

Đưa $3$ ra ngoài $15 x$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (5 x) + 3}$

Bước 21.4.3

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (5 x) + 3 (1)}$

Bước 21.4.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x^{2}) + 3 (5 x)$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2} + 5 x) + 3 (1)}$

Bước 21.4.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x^{2} + 5 x) + 3 (1)$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)}$

Bước 21.5

Nhân $2 x + 5$ với $\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)}$ .

$\frac{2 x + 5}{3 (x^{2} + 5 x + 1)}$