Giải tích Ví dụ

$f (x) = \cos (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \frac{3 x + 1}{2 x - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{3 x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{2 x - 1}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{2 x - 1}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{3 x + 1}{2 x - 1}$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{2 x - 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 3 x + 1$ và $g (x) = 2 x - 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1] - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Nhân $3$ với $1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 + 0) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) \cdot 3 - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $2 x - 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 \cdot (2 x - 1) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.8

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.10

Nhân $2$ với $1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.11

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.12

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Cộng $2$ và $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.12.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - 2 (3 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 3.12.3

Kết hợp $\frac{3 (2 x - 1) - 2 (3 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ và $\sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})$ .

$- \frac{(3 (2 x - 1) - 2 (3 x + 1)) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{(3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - 2 (3 x + 1)) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{(3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $3 (2 x)$ và $- 2 (3 x)$ .

$- \frac{(2 \cdot 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 4.3.1.2

Trừ $2 \cdot 3 x$ khỏi $2 \cdot 3 x$ .

$- \frac{(3 \cdot - 1 + 0 - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 4.3.1.3

Cộng $3 \cdot - 1$ và $0$ .

$- \frac{(3 \cdot - 1 - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 4.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- \frac{(- 3 - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- \frac{(- 3 - 2) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 4.3.3

Trừ $2$ khỏi $- 3$ .

$- \frac{- 5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 4.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Bước 4.4.3

Nhân $\frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$ với $1$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$