Giải tích Ví dụ

$f (x) = \cos (4 x) \sin^{4} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (4 x)$ và $g (x) = \sin^{4} (x)$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\cos (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\cos (4 x) (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (x)$ .

$\cos (4 x) (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Bước 3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\cos (4 x)$ .

$4 \cdot \cos (4 x) \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Bước 4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $4 x$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 5.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $4 x$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 6.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- 4 \sin (4 x) \cdot 1)$

Bước 6.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- 4 \sin (4 x))$

Bước 6.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cos (4 x) - 4 \sin^{4} (x) \sin (4 x)$