Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (\frac{e^{x}}{e^{x} + 1})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Bước 2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$1 \frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Bước 3

Nhân $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ với $1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Bước 6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Bước 8.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Bước 9

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Bước 9.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x + x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Bước 9.3

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Bước 10

Nhân $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ với $\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}}$

Bước 11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đưa $e^{x} + 1$ ra ngoài $e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

Bước 11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Bước 12.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.1

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{x + x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Bước 12.3.1.1.2

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Bước 12.3.1.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Bước 12.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Trừ $e^{2 x}$ khỏi $e^{2 x}$ .

$\frac{0 + e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Bước 12.3.2.2

Cộng $0$ và $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Bước 12.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{x}}{e^{x + x} + e^{x} \cdot 1}$

Bước 12.4.1.2

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x} \cdot 1}$

Bước 12.4.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x}}$

Bước 12.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Viết lại $e^{2 x}$ ở dạng ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{e^{x}}{{(e^{x})}^{2} + e^{x}}$

Bước 12.5.2

Giả sử $u = e^{x}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{u^{2} + u}$

Bước 12.5.3

Đưa $u$ ra ngoài $u^{2} + u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.3.1

Đưa $u$ ra ngoài $u^{2}$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u}$

Bước 12.5.3.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u^{1}}$

Bước 12.5.3.3

Đưa $u$ ra ngoài $u^{1}$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u \cdot 1}$

Bước 12.5.3.4

Đưa $u$ ra ngoài $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{e^{x}}{u (u + 1)}$

Bước 12.5.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Bước 12.6

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Bước 12.6.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{e^{x} + 1}$