Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}] + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ và $g (x) = x^{2} - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2 {(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8.3

Di chuyển ${(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{2}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ và $x$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2] + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 11

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (2 x) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12.2

Kết hợp $2$ và $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 (2 x)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} x + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} x + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12.4

Kết hợp $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ và $x$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 13

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 14

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 16

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 17

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

Bước 18

Nhân ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ với $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 19

Để viết ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}})$

Bước 20

Kết hợp ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ và $\frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}})$

Bước 21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 22

Nhân ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ với ${(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Di chuyển ${(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 22.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 22.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 22.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 22.5

Chia $3$ cho $3$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{1} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 23

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Rút gọn ${(x^{2} - 2)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + (x^{2} - 2) \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 23.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + 3 \cdot (x^{2} - 2)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 24

Nhân $\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ với $\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

Bước 25

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}})}$

Bước 26

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}})}$

Bước 26.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{3}})}$

Bước 27

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{3}})}$

Bước 27.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{1})}$

Bước 28

Rút gọn.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 (x^{2} - 2))}$

Bước 29

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2}{x (3 (x^{2} - 2))}$

Bước 29.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2}{x (3 x^{2} + 3 \cdot - 2)}$

Bước 29.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2}{x (3 x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Bước 29.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.4.1

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} - 6}{x (3 x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Bước 29.4.2

Cộng $4 x^{2}$ và $3 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{x (3 x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Bước 29.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.5.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 (x^{1} x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Bước 29.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{1 + 2} + x (3 \cdot - 2)}$

Bước 29.5.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{3} + x (3 \cdot - 2)}$

Bước 29.5.4

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{3} + x \cdot - 6}$

Bước 29.5.5

Di chuyển $- 6$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{3} - 6 x}$

Bước 29.6

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x^{3} - 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.6.1

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x^{3}$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x (x^{2}) - 6 x}$

Bước 29.6.2

Đưa $3 x$ ra ngoài $- 6 x$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 2)}$

Bước 29.6.3

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x (x^{2}) + 3 x (- 2)$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x (x^{2} - 2)}$