Giải tích Ví dụ

$f (x) = 8 \sec (x) (\sqrt{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sec (x) x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \sec (x) x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x) x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 (\sec (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\sec (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$8 (\sec (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$8 (\sec (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 (\sec (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$8 (\sec (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$8 (\sec (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$8 (\sec (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (\sec (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 8.3

Kết hợp $\sec (x)$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$8 (\frac{\sec (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 8.4

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (\frac{\sec (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 9

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$8 (\frac{\sec (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\sec (x) \tan (x)))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 \frac{\sec (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 8 (x^{\frac{1}{2}} (\sec (x) \tan (x)))$

Bước 10.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp $8$ và $\frac{\sec (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 \sec (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 8 (x^{\frac{1}{2}} (\sec (x) \tan (x)))$

Bước 10.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $8 \sec (x)$ .

$\frac{2 (4 \sec (x))}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 8 (x^{\frac{1}{2}} (\sec (x) \tan (x)))$

Bước 10.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 \sec (x))}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + 8 (x^{\frac{1}{2}} (\sec (x) \tan (x)))$

Bước 10.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (4 \sec (x))}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 8 (x^{\frac{1}{2}} (\sec (x) \tan (x)))$

Bước 10.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 \sec (x)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 (x^{\frac{1}{2}} (\sec (x) \tan (x)))$

$\frac{4 \sec (x)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} (\sec (x) \tan (x))$

Bước 10.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$8 x^{\frac{1}{2}} \sec (x) \tan (x) + \frac{4 \sec (x)}{x^{\frac{1}{2}}}$