Giải tích Ví dụ

$f (x) = \arctan (\frac{x - 1}{x + 1})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x - 1$ và $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Nhân $x + 1$ với $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.7

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.8.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.8.3

Nhân $\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}}$ với $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}) {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 1 - x - - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.3.1.2

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.3.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2}{(\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4.4.3

Kết hợp $\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ và ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

Bước 4.4.4

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

Bước 4.4.4.2

Chia ${(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}$ cho $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}$

Bước 4.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Viết lại ${(x + 1)}^{2}$ ở dạng $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{2}{(x + 1) (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.2

Khai triển $(x + 1) (x + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2}{x (x + 1) + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.3.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.3.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.3.1.4

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.3.2

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.4

Viết lại ${(x - 1)}^{2}$ ở dạng $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (x - 1)}$

Bước 4.5.5

Khai triển $(x - 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

Bước 4.5.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

Bước 4.5.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Bước 4.5.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.6.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Bước 4.5.6.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Bước 4.5.6.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Bước 4.5.6.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}$

Bước 4.5.6.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x + 1}$

Bước 4.5.6.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 2 x + 1}$

Bước 4.5.7

Cộng $x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2 x + 1 - 2 x + 1}$

Bước 4.5.8

Trừ $2 x$ khỏi $2 x$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 0 + 1 + 1}$

Bước 4.5.9

Cộng $2 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 1 + 1}$

Bước 4.5.10

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

Bước 4.5.11

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

Bước 4.5.11.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Bước 4.5.11.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Bước 4.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Bước 4.6.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$