Giải tích Ví dụ

$f (x) = arcsec (\sqrt{x + 1})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 1}$ ở dạng ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = arcsec (x)$ và $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $arcsec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{1} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4

Rút gọn.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x + 1 - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 5

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x + 0}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 13

Di chuyển ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 14

Nhân $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 16

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 16.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 17

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 17.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{1} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 18

Rút gọn.

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 19

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 20

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 21

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (1 + 0)$

Bước 22

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} \cdot 1$

Bước 22.2

Nhân $\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}}$ với $1$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}}$

Bước 23

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{(2 x + 2 \cdot 1) \sqrt{x}}$

Bước 23.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2 x \sqrt{x} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Bước 23.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Bước 23.3.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.3.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x) + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Bước 23.3.2.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.3.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Bước 23.3.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + 1} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Bước 23.3.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Bước 23.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Bước 23.3.2.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Bước 23.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x}}$