Giải tích Ví dụ

$F (x) = \arcsin (\sqrt{\sin (x)})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\sin (x)}$ ở dạng ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin ({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arcsin (x)$ và $g (x) = {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arcsin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{1} (x)}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4

Rút gọn.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 10.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{{\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 10.3

Di chuyển ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}} (\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 10.4

Nhân $\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (x)}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (x)}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 11

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (x)}} \cos (x)$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (x)}}$ và $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (x)}}$