Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (x) - \tan (x) + x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) - \tan (x) + x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \tan (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 5

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 5.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 5.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 5.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 5.4.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 5.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 5.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 5.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 5.8

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Bước 6

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 6.3

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 6.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 6.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 6.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 6.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 6.6

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.7

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.8

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.9

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.11.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.11.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.13

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.14

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x^{- 1}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.15

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.15.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.15.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.15.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.15.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.15.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.15.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.15.5.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.15.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.16

Di chuyển $x^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.17

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.18

Nhân $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ với $1$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 6.19

Nhân $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ với $0$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 0$

Bước 6.20

Cộng $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ và $0$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \sec^{2} (x)$

Bước 7.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Bước 7.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Bước 7.4.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Bước 7.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Bước 7.5.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Bước 7.5.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \sec^{2} (x)$