Giải tích Ví dụ

$f (x) = \tan (3 x) + 3 x \sec^{3} (3 x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\tan (3 x) + 3 x \sec^{3} (3 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Bước 2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Bước 2.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\sec^{2} (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Bước 2.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x \sec^{3} (3 x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (3 x)]$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (3 x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sec^{3} (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x \frac{d}{d x} [\sec^{3} (3 x)] + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \sec (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sec (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $3 x$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.2

Đạo hàm của $\sec (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $3 x$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.5

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1))) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1))) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Bước 3.8

Nhân $3$ với $1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Bước 3.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (3 \cdot (\sec (3 x) \tan (3 x)))) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Bước 3.10

Nhân $3$ với $3$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x))) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Bước 3.11

Nâng $\sec (3 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 (\sec^{1} (3 x) \sec^{2} (3 x)) \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Bước 3.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 {\sec (3 x)}^{1 + 2} \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Bước 3.13

Cộng $1$ và $2$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{3} (3 x) \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Bước 3.14

Nhân $\sec^{3} (3 x)$ với $1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{3} (3 x) \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x))$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{3} (3 x) \tan (3 x))) + 3 \sec^{3} (3 x)$

Bước 4.2

Nhân $9$ với $3$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 27 x (\sec^{3} (3 x) \tan (3 x)) + 3 \sec^{3} (3 x)$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$27 x \sec^{3} (3 x) \tan (3 x) + 3 \sec^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)$