Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (\sec (\arccos (x)))$

Bước 1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arccos (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Do đó, $\sec (\arccos (x))$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{x}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

Bước 4.2

Kết hợp $\cos (\frac{1}{x})$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$