Giải tích Ví dụ

$f (x) = n \ln (1 + \frac{x}{n})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ là $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ trong đó $f (n) = n$ và $g (n) = \ln (1 + \frac{x}{n})$ .

$n \frac{d}{d n} [\ln (1 + \frac{x}{n})] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ là $f' (g (n)) g' (n)$ trong đó $f (n) = \ln (n)$ và $g (n) = 1 + \frac{x}{n}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + \frac{x}{n}$ .

$n (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$n (\frac{1}{u} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + \frac{x}{n}$ .

$n (\frac{1}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{1 + \frac{x}{n}}$ và $n$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \frac{x}{n}$ đối với $n$ là $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $n$ , đạo hàm của $1$ đối với $n$ là $0$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (0 + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 3.5

Vì $x$ không đổi đối với $n$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{n}$ đối với $n$ là $x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 3.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Kết hợp $x$ và $\frac{n}{1 + \frac{x}{n}}$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 3.6.2

Viết lại $\frac{1}{n}$ ở dạng $n^{- 1}$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [n^{- 1}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ là $n \cdot n^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} (- n^{- 2}) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 3.8

Kết hợp $\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}}$ và $n^{- 2}$ .

$- \frac{x n \cdot n^{- 2}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 4

Nhân $n$ với $n^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $n^{- 2}$ .

$- \frac{x (n^{- 2} n)}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 4.2

Nhân $n^{- 2}$ với $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $n$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{x (n^{- 2} n^{1})}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{x n^{- 2 + 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 4.3

Cộng $- 2$ và $1$ .

$- \frac{x n^{- 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 5

Di chuyển $n^{- 1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ là $n \cdot n^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot 1$

Bước 7

Nhân $\ln (1 + \frac{x}{n})$ với $1$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n})$

Bước 8

Để viết $\ln (1 + \frac{x}{n})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot \frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Bước 9

Kết hợp $\ln (1 + \frac{x}{n})$ và $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \frac{\ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Bước 10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Bước 11.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1.1

Nhân $n$ với $1$ .

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Bước 11.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Bước 11.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + x)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Bước 11.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Bước 11.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Bước 11.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Nhân $n$ với $1$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x}{n} n}$

Bước 11.4.2

Kết hợp $\frac{x}{n}$ và $n$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

Bước 11.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

Bước 11.4.3.2

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + x}$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Bước 11.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{n \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Bước 11.6.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Bước 11.6.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Bước 11.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n + x}{n}) - x}{n + x}$