Giải tích Ví dụ

$f (x) = \log (\frac{1}{\sin (4 x)})$

Bước 1

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (4 x)}$ sang $\csc (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\log (\csc (4 x))]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log (x)$ và $g (x) = \csc (4 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\csc (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\log (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\csc (4 x)$ .

$\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\csc (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $4 x$ .

$\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)} (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)}$ và $\csc (4 x)$ .

$- \frac{\csc (4 x)}{\csc (4 x) \ln (10)} \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 4.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $\cot (4 x)$ và $\frac{\csc (4 x)}{\csc (4 x) \ln (10)}$ .

$- \frac{\cot (4 x) \csc (4 x)}{\csc (4 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\csc (4 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\cot (4 x) \csc (4 x)}{\csc (4 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\cot (4 x)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 4.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cot (4 x)}{\ln (10)} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 4 \frac{\cot (4 x)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.4.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{\cot (4 x)}{\ln (10)}$ .

$\frac{- 4 \cot (4 x)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 \cot (4 x)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{4 \cot (4 x)}{\ln (10)} \cdot 1$

Bước 4.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{4 \cot (4 x)}{\ln (10)}$