Giải tích Ví dụ

$f (x) = x + \sqrt{2 x} - \sqrt[3]{3 x} + \frac{3}{x^{4}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \sqrt{2 x} - \sqrt[3]{3 x} + \frac{3}{x^{4}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 x}$ ở dạng ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.4

Vì $2^{\frac{1}{2}}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.11

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.12

Kết hợp $2^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.13

Di chuyển $2^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.14

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.15

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.15.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 + \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.15.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.15.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 2.15.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{3 x}$ ở dạng ${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(3 x)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(3 (x))}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (x)$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.4

Vì $- 3^{\frac{1}{3}}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $- 3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.9.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.11

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.12

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ và $3^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.13

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.14

Di chuyển $3^{\frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{- \frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.15

Nhân $3$ với $3^{- \frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1

Di chuyển $3^{- \frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{- \frac{1}{3}} \cdot 3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.15.2

Nhân $3^{- \frac{1}{3}}$ với $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{- \frac{1}{3}} \cdot 3^{1} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.15.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{- \frac{1}{3} + 1} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.15.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.15.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{- 1 + 3}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 3.15.5

Cộng $- 1$ và $3$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{x^{4}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 4.2

Viết lại $\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Bước 4.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Bước 4.5.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Bước 4.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Bước 4.7

Nhân $x^{- 8}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Bước 4.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- 4 x^{3 - 8})$

Bước 4.7.3

Trừ $8$ khỏi $3$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- 4 x^{- 5})$

Bước 4.8

Nhân $- 4$ với $3$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} - 12 x^{- 5}$

Bước 5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} - 12 \frac{1}{x^{5}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp $- 12$ và $\frac{1}{x^{5}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 12}{x^{5}}$

Bước 6.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} - \frac{12}{x^{5}}$

Bước 6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{12}{x^{5}} + 1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$