Giải tích Ví dụ

$f (z) = {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ và $g (x) = 1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Bước 2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Bước 3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Bước 4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Bước 5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Bước 5.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và ${(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Bước 6.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}])$

Bước 6.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}])$

Bước 6.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} - 1$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Bước 7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Bước 7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} - 1$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Bước 8

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $3$ và $\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 (3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} ({(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Bước 8.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} ({(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Bước 8.2.2

Kết hợp ${(x^{2} - 1)}^{2}$ và $\frac{9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 8.2.3

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của ${(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{9 \cdot {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 8.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 8.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 8.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Bước 8.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Bước 8.6.2

Kết hợp $2$ và $\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

Bước 8.6.3

Nhân $9$ với $2$ .

$\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

Bước 8.6.4

Kết hợp $\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2}$ và $x$ .

$\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}) x}{2}$

Bước 8.6.5

Đưa $2$ ra ngoài $18 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$

Bước 9

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)}$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Bước 9.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x}{1}$

Bước 9.4

Chia $9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ cho $1$ .

$9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$

Bước 10

Sắp xếp lại các thừa số của $9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$9 x {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{2}$