Giải tích Ví dụ

$f (y) = y \ln (1 + e^{y})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = \ln (1 + e^{y})$ .

$y \frac{d}{d y} [\ln (1 + e^{y})] + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \ln (y)$ và $g (y) = 1 + e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + e^{y}$ .

$y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [1 + e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [1 + e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + e^{y}$ .

$y (\frac{1}{1 + e^{y}} \frac{d}{d y} [1 + e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{1 + e^{y}}$ và $y$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} \frac{d}{d y} [1 + e^{y}] + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{y}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} (0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ là $a^{y} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} e^{y} + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{y}{1 + e^{y}}$ và $e^{y}$ .

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \ln (1 + e^{y}) \cdot 1$

Bước 5.3

Nhân $\ln (1 + e^{y})$ với $1$ .

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \ln (1 + e^{y})$

Bước 6

Để viết $\ln (1 + e^{y})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + e^{y}}{1 + e^{y}}$ .

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \frac{\ln (1 + e^{y}) (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) \cdot 1 + \ln (1 + e^{y}) e^{y}}{1 + e^{y}}$

Bước 8.1.1.2

Nhân $\ln (1 + e^{y})$ với $1$ .

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) + \ln (1 + e^{y}) e^{y}}{1 + e^{y}}$

Bước 8.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) + \ln (1 + e^{y}) e^{y}$ .

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) + e^{y} \ln (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$

Bước 8.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{y} y + e^{y} \ln (1 + e^{y}) + \ln (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$