Giải tích Ví dụ

$f (x) = y \ln (x y) + 1$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y \ln (x y) + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y \ln (x y)] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y \ln (x y)] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d y} [y \ln (x y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = \ln (x y)$ .

$y \frac{d}{d y} [\ln (x y)] + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \ln (y)$ và $g (y) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$y (\frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.3

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$y (\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y (\frac{1}{x y} (x \cdot 1)) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y (\frac{1}{x y} (x \cdot 1)) + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.6

Nhân $x$ với $1$ .

$y (\frac{1}{x y} x) + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.7

Kết hợp $\frac{1}{x y}$ và $x$ .

$y \frac{x}{x y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.8

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \frac{x}{x y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.8.2

Viết lại biểu thức.

$y \frac{1}{y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.9

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{y}$ .

$\frac{y}{y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.10

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.10.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.11

Nhân $\ln (x y)$ với $1$ .

$1 + \ln (x y) + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + \ln (x y) + 0$

Bước 3.2

Cộng $1 + \ln (x y)$ và $0$ .

$1 + \ln (x y)$