Giải tích Ví dụ

$f (x) = x {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = 4 x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x - 2$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x - 2$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.4

Kết hợp $\frac{1}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ và $x$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x - 2] + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 + 0) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 4 + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13.2

Kết hợp $\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ và $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{4 \cdot x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Bước 15

Nhân ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ với $1$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 16

Để viết ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 17

Kết hợp ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19

Nhân ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ với ${(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Di chuyển ${(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19.5

Chia $3$ cho $3$ .

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{1} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 20

Rút gọn ${(4 x - 2)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{4 x + (4 x - 2) \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $4 x - 2$ .

$\frac{4 x + 3 \cdot (4 x - 2)}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 22

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x + 3 (4 x) + 3 \cdot - 2}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 22.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1.1

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{4 x + 12 x + 3 \cdot - 2}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 22.2.1.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{4 x + 12 x - 6}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 22.2.2

Cộng $4 x$ và $12 x$ .

$\frac{16 x - 6}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 22.3

Đưa $2$ ra ngoài $16 x - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $16 x$ .

$\frac{2 (8 x) - 6}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 22.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{2 (8 x) + 2 (- 3)}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 22.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (8 x) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (8 x - 3)}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$