Giải tích Ví dụ

$f (x) = x - \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{x^{3}}$ ở dạng $x^{\frac{3}{4}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}]$

Bước 2.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{3}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{3}{4}}$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}])$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$1 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}])$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{3}{4}}$ .

$1 - 4 (- {(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{4}$ .

$1 - 4 (- {(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Bước 2.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{4} \cdot - 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Bước 2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2 (2)} \cdot - 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Bước 2.6.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Bước 2.6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Bước 2.6.2.4

Viết lại biểu thức.

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Bước 2.6.3

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Bước 2.6.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{- 3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Bước 2.6.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Bước 2.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}))$

Bước 2.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}))$

Bước 2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}))$

Bước 2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}))$

Bước 2.10.2

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}))$

Bước 2.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}))$

Bước 2.12

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4})$

Bước 2.13

Kết hợp $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ và $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{1}{4}} x^{- \frac{3}{2}}}{4})$

Bước 2.14

Nhân $x^{- \frac{1}{4}}$ với $x^{- \frac{3}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.1

Di chuyển $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 (x^{- \frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{4}})}{4})$

Bước 2.14.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3}{2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Bước 2.14.3

Để viết $- \frac{3}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Bước 2.14.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.4.1

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Bước 2.14.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{1}{4}}}{4})$

Bước 2.14.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 - 4 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{4}}}{4})$

Bước 2.14.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.6.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{\frac{- 6 - 1}{4}}}{4})$

Bước 2.14.6.2

Trừ $1$ khỏi $- 6$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{\frac{- 7}{4}}}{4})$

Bước 2.14.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{7}{4}}}{4})$

Bước 2.15

Di chuyển $x^{- \frac{7}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 4 (- \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}})$

Bước 2.16

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$1 + 4 \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Bước 2.17

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Bước 2.18

Nhân $4$ với $3$ .

$1 + \frac{12}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Bước 2.19

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Bước 2.20

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.20.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{\frac{7}{4}}$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 (x^{\frac{7}{4}})}$

Bước 2.20.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Bước 2.20.3

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{3}{x^{\frac{7}{4}}}$