Giải tích Ví dụ

$f (x) = x - \frac{2}{x^{2} + 3 x - 4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \frac{2}{x^{2} + 3 x - 4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2} + 3 x - 4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2} + 3 x - 4}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2} + 3 x - 4}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2} + 3 x - 4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2}{x^{2} + 3 x - 4}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 3 x - 4}]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 3 x - 4}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2} + 3 x - 4}$ ở dạng ${(x^{2} + 3 x - 4)}^{- 1}$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x - 4)}^{- 1}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} + 3 x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 3 x - 4$ .

$1 - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$1 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 3 x - 4$ .

$1 - 2 (- {(x^{2} + 3 x - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4])$

Bước 2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 3 x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$1 - 2 (- {(x^{2} + 3 x - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$1 - 2 (- {(x^{2} + 3 x - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Bước 2.6

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 2 (- {(x^{2} + 3 x - 4)}^{- 2} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 - 2 (- {(x^{2} + 3 x - 4)}^{- 2} (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Bước 2.8

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$1 - 2 (- {(x^{2} + 3 x - 4)}^{- 2} (2 x + 3 \cdot 1 + 0))$

Bước 2.9

Nhân $3$ với $1$ .

$1 - 2 (- {(x^{2} + 3 x - 4)}^{- 2} (2 x + 3 + 0))$

Bước 2.10

Cộng $2 x + 3$ và $0$ .

$1 - 2 (- {(x^{2} + 3 x - 4)}^{- 2} (2 x + 3))$

Bước 2.11

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$1 + 2 {(x^{2} + 3 x - 4)}^{- 2} (2 x + 3)$

Bước 3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 2 \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}} (2 x + 3)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$ .

$1 + \frac{2}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}} (2 x + 3)$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$(2 x + 3) \frac{2}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}} + 1$