Giải tích Ví dụ

$x e^{- \frac{1}{x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{- \frac{1}{x}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{1}{x}}] + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- \frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{1}{x}$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3.2

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $\frac{1}{x}$ với $0$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + 0)) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.5.2

Cộng $x^{- 2}$ và $0$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} x^{- 2}) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{- 2} x^{1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{- 2 + 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7

Cộng $- 2$ và $1$ .

$x^{- 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{- 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \cdot 1$

Bước 9

Nhân $e^{- \frac{1}{x}}$ với $1$ .

$x^{- 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{- \frac{1}{x}} x^{- 1} + e^{- \frac{1}{x}}$

Bước 10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x} + e^{- \frac{1}{x}}$

Bước 10.2.2

Kết hợp $e^{- \frac{1}{x}}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x} + e^{- \frac{1}{x}}$