Giải tích Ví dụ

$f (x) = a x - 3 x \ln (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a x - 3 x \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [a x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a x$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Bước 1.2.3

Nhân $a$ với $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x \ln (x)$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 1.3.5

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 1.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 1.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 1.3.7

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Bước 1.4.2

Nhân $- 3$ với $1$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a - 3 - 3 \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Bước 2.1.2

Vì $a$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $a$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Bước 2.1.3

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 \ln (x)$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{1}{x}$

Bước 2.2.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{- 3}{x}$

Bước 2.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = 0 + 0 - \frac{3}{x}$

Bước 2.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

Bước 2.3.2

Trừ $\frac{3}{x}$ khỏi $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a x - 3 x \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [a x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a x$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Bước 4.1.2.3

Nhân $a$ với $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x \ln (x)$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Bước 4.1.3.2

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.1.3.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 4.1.3.5

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 4.1.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 4.1.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 4.1.3.7

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

Bước 4.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Bước 4.1.4.2

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f' (x) = a - 3 - 3 \ln (x)$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $a - 3 - 3 \ln (x)$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $a - 3 - 3 \ln (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\ln (x)$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ $a$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 3 - 3 \ln (x) = - a$

Bước 5.2.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 3 \ln (x) = - a + 3$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $- 3 \ln (x) = - a + 3$ cho $- 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 3 \ln (x) = - a + 3$ cho $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $\ln (x)$ cho $1$ .

$\ln (x) = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\ln (x) = \frac{a}{3} + \frac{3}{- 3}$

Bước 5.3.3.1.2

Chia $3$ cho $- 3$ .

$\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$

Bước 5.4

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Bước 5.5

Viết lại $\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{a}{3} - 1} = x$

Bước 5.6

Viết lại phương trình ở dạng $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ .

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt đối số trong $\ln (x)$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x \leq 0$

Bước 6.2

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1}}$

Bước 9

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Bước 9.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Bước 9.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 1 \cdot 3}{3}}}$

Bước 9.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 3}{3}}}$

Bước 10

Vì phép kiểm định đạo hàm bậc nhất thất bại, nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 11