Giải tích Ví dụ

$f (x) = \arctan (x^{5})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{5}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 1.2.1.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} (5 x^{4})$

Bước 1.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{1 + x^{10}}$ .

$\frac{5}{1 + x^{10}} x^{4}$

Bước 1.2.3.2

Kết hợp $\frac{5}{1 + x^{10}}$ và $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{1 + x^{10}}$

Bước 1.2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x^{10} + 1}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{x^{10} + 1})$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Bước 2.3.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 \cdot ((x^{10} + 1) x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{10} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 10$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Bước 2.3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + 0)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Bước 2.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Cộng $10 x^{9}$ và $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Bước 2.3.6.2

Nhân $10$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{4} x^{9}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Bước 2.4

Nhân $x^{4}$ với $x^{9}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Di chuyển $x^{9}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 (x^{9} x^{4})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Bước 2.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{9 + 4}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Bước 2.4.3

Cộng $9$ và $4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Bước 2.5

Kết hợp $5$ và $\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{5 ((4 x^{10} + 4 \cdot 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3} + 4 \cdot (1 x^{3}) - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.1

Nhân $x^{10}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.1.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{3} x^{10})) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.4.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{3 + 10}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.4.1.1.3

Cộng $3$ và $10$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{13}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.4.1.2

Nhân $4$ với $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.4.1.3

Nhân $4$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.4.1.4

Nhân $4$ với $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.4.1.5

Nhân $- 10$ với $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} - 50 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.4.2

Trừ $50 x^{13}$ khỏi $20 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{- 30 x^{13} + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.5

Đưa $10 x^{3}$ ra ngoài $- 30 x^{13} + 20 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.5.1

Đưa $10 x^{3}$ ra ngoài $- 30 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.5.2

Đưa $10 x^{3}$ ra ngoài $20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.5.3

Đưa $10 x^{3}$ ra ngoài $10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10} + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x^{10}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.7

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x^{10}) - 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.9

Viết lại $- (3 x^{10} - 2)$ ở dạng $- 1 (3 x^{10} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 1 (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.11

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{3} (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1} = 0$

Bước 4

Cho tử bằng không.

$5 x^{4} = 0$

Bước 5

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $5 x^{4} = 0$ cho $5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Chia mỗi số hạng trong $5 x^{4} = 0$ cho $5$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Bước 5.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Bước 5.1.2.1.2

Chia $x^{4}$ cho $1$ .

$x^{4} = \frac{0}{5}$

Bước 5.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Chia $0$ cho $5$ .

$x^{4} = 0$

Bước 5.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Bước 5.3

Rút gọn $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Bước 5.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 5.3.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 6

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{10 {(0)}^{3} (3 {(0)}^{10} - 2)}{{({(0)}^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 7

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (3 \cdot 0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 7.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 7.1.3

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} \cdot - 2}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 7.1.4

Nhân $- 2$ với $10$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0^{3}}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 7.1.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Bước 7.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1^{2}}$

Bước 7.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1}$

Bước 7.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $- 20$ với $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Bước 7.3.2

Chia $0$ cho $1$ .

$- 0$

Bước 7.3.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0$

Bước 8

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 8.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{4}}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Bước 8.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Bước 8.2.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $10$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Bước 8.2.2.2.2

Cộng $1024$ và $1$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Bước 8.2.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.3.1

Nhân $5$ với $16$ .

$f' (- 2) = \frac{80}{1025}$

Bước 8.2.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $80$ và $1025$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $80$ .

$f' (- 2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Bước 8.2.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.3.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $1025$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Bước 8.2.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Bước 8.2.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (- 2) = \frac{16}{205}$

Bước 8.2.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Bước 8.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(0, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = \frac{5 {(2)}^{4}}{{(2)}^{10} + 1}$

Bước 8.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{2^{10} + 1}$

Bước 8.3.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $10$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Bước 8.3.2.2.2

Cộng $1024$ và $1$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Bước 8.3.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.3.1

Nhân $5$ với $16$ .

$f' (2) = \frac{80}{1025}$

Bước 8.3.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $80$ và $1025$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $80$ .

$f' (2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Bước 8.3.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.3.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $1025$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Bước 8.3.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Bước 8.3.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (2) = \frac{16}{205}$

Bước 8.3.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Bước 8.4

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = 0$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 8.5

Không tìm được cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương cho $f (x) = \arctan (x^{5})$ .

Không có cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 9