Giải tích Ví dụ

$f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) + 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \sin (x) + 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 (- \sin (x))$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = - \cos (x) - 2 \sin (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5

Tách các phân số.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 8

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 8.2

Chia $2$ cho $1$ .

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 9

Tách các phân số.

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 10

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 11

Chia $0$ cho $1$ .

$- \tan (x) + 2 = 0 \sec (x)$

Bước 12

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 2 = 0$

Bước 13

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \tan (x) = - 2$

Bước 14

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 14.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 14.2.2

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 14.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$\tan (x) = 2$

Bước 15

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (2)$

Bước 16

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Tính $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Bước 17

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Bước 18

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Bước 18.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Bước 18.3

Cộng $3.14159265$ và $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Bước 19

Đáp án của phương trình $x = 1.10714871$ .

$x = 1.10714871, 4.24874137$

Bước 20

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 1.10714871$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \cos (1.10714871) - 2 \sin (1.10714871)$

Bước 21

$x = 1.10714871$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 1.10714871$ là cực đại địa phương

Bước 22

Tìm giá trị y khi $x = 1.10714871$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.10714871$ trong biểu thức.

$f (1.10714871) = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

Bước 22.2

Câu trả lời cuối cùng là $\cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$ .

$y = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

Bước 23

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 4.24874137$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \cos (4.24874137) - 2 \sin (4.24874137)$

Bước 24

$x = 4.24874137$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 4.24874137$ là cực tiểu địa phương

Bước 25

Tìm giá trị y khi $x = 4.24874137$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Thay thế biến $x$ bằng $4.24874137$ trong biểu thức.

$f (4.24874137) = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

Bước 25.2

Câu trả lời cuối cùng là $\cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$ .

$y = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

Bước 26

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$ .

$(1.10714871, \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871))$ là một cực đại địa phuơng

$(4.24874137, \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137))$ là một cực tiểu địa phương

Bước 27