Giải tích Ví dụ

$f (x) = 9 x + \sin (9 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 x + \sin (9 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Bước 1.2.3

Nhân $9$ với $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 9 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $9 x$ .

$9 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [9 x]$

Bước 1.3.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$9 + \cos (u) \frac{d}{d x} [9 x]$

Bước 1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $9 x$ .

$9 + \cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]$

Bước 1.3.2

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 + \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$9 + \cos (9 x) (9 \cdot 1)$

Bước 1.3.4

Nhân $9$ với $1$ .

$9 + \cos (9 x) \cdot 9$

Bước 1.3.5

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $\cos (9 x)$ .

$9 + 9 \cos (9 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 + 9 \cos (9 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [9 \cos (9 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (9 \cos (9 x))$

Bước 2.1.2

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (9 \cos (9 x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [9 \cos (9 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 \cos (9 x)$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 9 \frac{d}{d x} (\cos (9 x))$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 9 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $9 x$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (9 x))$

Bước 2.2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (9 x))$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $9 x$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) \frac{d}{d x} (9 x))$

Bước 2.2.3

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) (9 \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) (9 \cdot 1))$

Bước 2.2.5

Nhân $9$ với $1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) \cdot 9)$

Bước 2.2.6

Nhân $9$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- 9 \sin (9 x))$

Bước 2.2.7

Nhân $- 9$ với $9$ .

$f'' (x) = 0 - 81 \sin (9 x)$

Bước 2.3

Trừ $81 \sin (9 x)$ khỏi $0$ .

$f'' (x) = - 81 \sin (9 x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$9 + 9 \cos (9 x) = 0$

Bước 4

Trừ $9$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 \cos (9 x) = - 9$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $9 \cos (9 x) = - 9$ cho $9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $9 \cos (9 x) = - 9$ cho $9$ .

$\frac{9 \cos (9 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 \cos (9 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Bước 5.2.1.2

Chia $\cos (9 x)$ cho $1$ .

$\cos (9 x) = \frac{- 9}{9}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia $- 9$ cho $9$ .

$\cos (9 x) = - 1$

Bước 6

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$9 x = \arccos (- 1)$

Bước 7

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- 1)$ là $π$ .

$9 x = π$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $9 x = π$ cho $9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $9 x = π$ cho $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Bước 8.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{π}{9}$

Bước 9

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$9 x = 2 π - π$

Bước 10

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$9 x = π$

Bước 10.2

Chia mỗi số hạng trong $9 x = π$ cho $9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Chia mỗi số hạng trong $9 x = π$ cho $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Bước 10.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Bước 10.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{π}{9}$

Bước 11

Đáp án của phương trình $9 x = π$ .

$x = \frac{π}{9}, \frac{π}{9}$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{9}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 81 \sin (9 (\frac{π}{9}))$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 81 \sin (9 \frac{π}{9})$

Bước 13.1.2

Viết lại biểu thức.

$- 81 \sin (π)$

Bước 13.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 81 \sin (0)$

Bước 13.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 81 \cdot 0$

Bước 13.4

Nhân $- 81$ với $0$ .

$0$

Bước 14

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, \frac{π}{9}) \cup (\frac{π}{9}, \infty)$

Bước 14.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0$ , từ khoảng $(- \infty, \frac{π}{9})$ trong đạo hàm đầu tiên $9 + 9 \cos (9 x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = 9 + 9 \cos (9 (0))$

Bước 14.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1.1

Nhân $9$ với $0$ .

$f' (0) = 9 + 9 \cos (0)$

Bước 14.2.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f' (0) = 9 + 9 \cdot 1$

Bước 14.2.2.1.3

Nhân $9$ với $1$ .

$f' (0) = 9 + 9$

Bước 14.2.2.2

Cộng $9$ và $9$ .

$f' (0) = 18$

Bước 14.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $18$ .

$18$

Bước 14.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $3$ , từ khoảng $(\frac{π}{9}, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $9 + 9 \cos (9 x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = 9 + 9 \cos (9 (3))$

Bước 14.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.1.1

Nhân $9$ với $3$ .

$f' (3) = 9 + 9 \cos (27)$

Bước 14.3.2.1.2

Tính $\cos (27)$ .

$f' (3) = 9 + 9 \cdot - 0.2921388$

Bước 14.3.2.1.3

Nhân $9$ với $- 0.2921388$ .

$f' (3) = 9 - 2.62924927$

Bước 14.3.2.2

Trừ $2.62924927$ khỏi $9$ .

$f' (3) = 6.37075072$

Bước 14.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $6.37075072$ .

$6.37075072$

Bước 14.4

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = \frac{π}{9}$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 14.5

Không tìm được cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương cho $f (x) = 9 x + \sin (9 x)$ .

Không có cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 15