Giải tích Ví dụ

$f (x) = 8 \sin (3 x) + 8 \cos (3 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 \sin (3 x) + 8 \cos (3 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [8 \sin (3 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \sin (3 x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Bước 1.2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$8 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Bước 1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$8 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Bước 1.2.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Bước 1.2.5

Nhân $3$ với $1$ .

$8 (\cos (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Bước 1.2.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (3 x)$ .

$8 (3 \cdot \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Bước 1.2.7

Nhân $3$ với $8$ .

$24 \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \cos (3 x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$24 \cos (3 x) + 8 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$24 \cos (3 x) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 1.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$24 \cos (3 x) + 8 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$24 \cos (3 x) + 8 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 1.3.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \cos (3 x) + 8 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$24 \cos (3 x) + 8 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Bước 1.3.5

Nhân $3$ với $1$ .

$24 \cos (3 x) + 8 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Bước 1.3.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$24 \cos (3 x) + 8 (- 3 \sin (3 x))$

Bước 1.3.7

Nhân $- 3$ với $8$ .

$24 \cos (3 x) - 24 \sin (3 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $24 \cos (3 x) - 24 \sin (3 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [24 \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 24 \sin (3 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [24 \cos (3 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $24 \cos (3 x)$ đối với $x$ là $24 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (\cos (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x$ .

$f'' (x) = 24 (\frac{d}{d u (1)} (\cos (u_{1})) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Bước 2.2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$f'' (x) = 24 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$f'' (x) = 24 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Bước 2.2.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Bước 2.2.5

Nhân $3$ với $1$ .

$f'' (x) = 24 (- \sin (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Bước 2.2.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 24 (- 3 \sin (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Bước 2.2.7

Nhân $- 3$ với $24$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 24 \sin (3 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 24 \sin (3 x)$ đối với $x$ là $- 24 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 \frac{d}{d x} \sin (3 x)$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 (\frac{d}{d u (2)} (\sin (u_{2})) \frac{d}{d x} (3 x))$

Bước 2.3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} (3 x))$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} (3 x))$

Bước 2.3.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 (\cos (3 x) (3 \cdot 1))$

Bước 2.3.5

Nhân $3$ với $1$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 (\cos (3 x) \cdot 3)$

Bước 2.3.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (3 x)$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 (3 \cdot \cos (3 x))$

Bước 2.3.7

Nhân $3$ với $- 24$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 72 \cos (3 x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$24 \cos (3 x) - 24 \sin (3 x) = 0$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (3 x)$ .

$\frac{24 \cos (3 x)}{\cos (3 x)} + \frac{- 24 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} = \frac{0}{\cos (3 x)}$

Bước 5

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{24 \cos (3 x)}{\cos (3 x)} + \frac{- 24 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} = \frac{0}{\cos (3 x)}$

Bước 5.2

Chia $24$ cho $1$ .

$24 + \frac{- 24 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} = \frac{0}{\cos (3 x)}$

Bước 6

Tách các phân số.

$24 + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} = \frac{0}{\cos (3 x)}$

Bước 7

Quy đổi từ $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ sang $\tan (3 x)$ .

$24 + \frac{- 24}{1} \cdot \tan (3 x) = \frac{0}{\cos (3 x)}$

Bước 8

Chia $- 24$ cho $1$ .

$24 - 24 \tan (3 x) = \frac{0}{\cos (3 x)}$

Bước 9

Tách các phân số.

$24 - 24 \tan (3 x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)}$

Bước 10

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (3 x)}$ sang $\sec (3 x)$ .

$24 - 24 \tan (3 x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (3 x)$

Bước 11

Chia $0$ cho $1$ .

$24 - 24 \tan (3 x) = 0 \sec (3 x)$

Bước 12

Nhân $0$ với $\sec (3 x)$ .

$24 - 24 \tan (3 x) = 0$

Bước 13

Trừ $24$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 24 \tan (3 x) = - 24$

Bước 14

Chia mỗi số hạng trong $- 24 \tan (3 x) = - 24$ cho $- 24$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Chia mỗi số hạng trong $- 24 \tan (3 x) = - 24$ cho $- 24$ .

$\frac{- 24 \tan (3 x)}{- 24} = \frac{- 24}{- 24}$

Bước 14.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 24 \tan (3 x)}{- 24} = \frac{- 24}{- 24}$

Bước 14.2.1.2

Chia $\tan (3 x)$ cho $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{- 24}{- 24}$

Bước 14.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Chia $- 24$ cho $- 24$ .

$\tan (3 x) = 1$

Bước 15

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$3 x = \arctan (1)$

Bước 16

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4}$

Bước 17

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{π}{4}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{π}{4}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Bước 17.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Bước 17.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Bước 17.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 17.3.2

Nhân $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.2.1

Nhân $\frac{π}{4}$ với $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Bước 17.3.2.2

Nhân $4$ với $3$ .

$x = \frac{π}{12}$

Bước 18

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$3 x = π + \frac{π}{4}$

Bước 19

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 19.1.2

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 19.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 19.1.4

Cộng $π \cdot 4$ và $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.4.1

Sắp xếp lại $π$ và $4$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 19.1.4.2

Cộng $4 \cdot π$ và $π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Bước 19.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Bước 19.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Bước 19.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Bước 19.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 19.2.3.2

Nhân $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.3.2.1

Nhân $\frac{5 π}{4}$ với $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Bước 19.2.3.2.2

Nhân $4$ với $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Bước 20

Đáp án của phương trình $3 x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Bước 21

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{12}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 72 \sin (3 (\frac{π}{12})) - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 22

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$- 72 \sin (3 \frac{π}{3 (4)}) - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 22.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 72 \sin (3 \frac{π}{3 \cdot 4}) - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 22.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 72 \sin (\frac{π}{4}) - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 22.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 72 \frac{\sqrt{2}}{2} - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 22.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 72$ .

$2 (- 36) \frac{\sqrt{2}}{2} - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 22.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 36 \frac{\sqrt{2}}{2} - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 22.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$- 36 \sqrt{2} - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 22.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$- 36 \sqrt{2} - 72 \cos (3 \frac{π}{3 (4)})$

Bước 22.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 36 \sqrt{2} - 72 \cos (3 \frac{π}{3 \cdot 4})$

Bước 22.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$- 36 \sqrt{2} - 72 \cos (\frac{π}{4})$

Bước 22.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 \sqrt{2} - 72 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 22.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 72$ .

$- 36 \sqrt{2} + 2 (- 36) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 22.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 36 \sqrt{2} + 2 \cdot - 36 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 22.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$- 36 \sqrt{2} - 36 \sqrt{2}$

Bước 22.2

Trừ $36 \sqrt{2}$ khỏi $- 36 \sqrt{2}$ .

$- 72 \sqrt{2}$

Bước 23

$x = \frac{π}{12}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{12}$ là cực đại địa phương

Bước 24

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{12}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{12}) = 8 \sin (3 (\frac{π}{12})) + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 24.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = 8 \sin (3 (\frac{π}{3 (4)})) + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 24.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{12}) = 8 \sin (3 (\frac{π}{3 \cdot 4})) + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 24.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{12}) = 8 \sin (\frac{π}{4}) + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 24.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 24.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$f (\frac{π}{12}) = 2 (4) (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 24.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{12}) = 2 \cdot (4 (\frac{\sqrt{2}}{2})) + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 24.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Bước 24.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 8 \cos (3 (\frac{π}{3 (4)}))$

Bước 24.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 8 \cos (3 (\frac{π}{3 \cdot 4}))$

Bước 24.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 8 \cos (\frac{π}{4})$

Bước 24.2.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 8 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 24.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 2 (4) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 24.2.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 2 \cdot (4 (\frac{\sqrt{2}}{2}))$

Bước 24.2.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

Bước 24.2.2

Cộng $4 \sqrt{2}$ và $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = 8 \sqrt{2}$

Bước 24.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $8 \sqrt{2}$ .

$y = 8 \sqrt{2}$

Bước 25

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{5 π}{12}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 72 \sin (3 (\frac{5 π}{12})) - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 26

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$- 72 \sin (3 \frac{5 π}{3 (4)}) - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 26.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 72 \sin (3 \frac{5 π}{3 \cdot 4}) - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 26.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 72 \sin (\frac{5 π}{4}) - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 26.1.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ ba.

$- 72 (- \sin (\frac{π}{4})) - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 26.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 72 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 26.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ vào tử số.

$- 72 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 26.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 72$ .

$2 (- 36) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 26.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 36 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 26.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$- 36 (- \sqrt{2}) - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 26.1.5

Nhân $- 1$ với $- 36$ .

$36 \sqrt{2} - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 26.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$36 \sqrt{2} - 72 \cos (3 \frac{5 π}{3 (4)})$

Bước 26.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$36 \sqrt{2} - 72 \cos (3 \frac{5 π}{3 \cdot 4})$

Bước 26.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$36 \sqrt{2} - 72 \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 26.1.7

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$36 \sqrt{2} - 72 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Bước 26.1.8

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$36 \sqrt{2} - 72 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 26.1.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1.9.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ vào tử số.

$36 \sqrt{2} - 72 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Bước 26.1.9.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 72$ .

$36 \sqrt{2} + 2 (- 36) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Bước 26.1.9.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$36 \sqrt{2} + 2 \cdot - 36 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Bước 26.1.9.4

Viết lại biểu thức.

$36 \sqrt{2} - 36 (- \sqrt{2})$

Bước 26.1.10

Nhân $- 1$ với $- 36$ .

$36 \sqrt{2} + 36 \sqrt{2}$

Bước 26.2

Cộng $36 \sqrt{2}$ và $36 \sqrt{2}$ .

$72 \sqrt{2}$

Bước 27

$x = \frac{5 π}{12}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{5 π}{12}$ là cực tiểu địa phương

Bước 28

Tìm giá trị y khi $x = \frac{5 π}{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{5 π}{12}$ trong biểu thức.

$f (\frac{5 π}{12}) = 8 \sin (3 (\frac{5 π}{12})) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 28.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 8 \sin (3 (\frac{5 π}{3 (4)})) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 28.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{12}) = 8 \sin (3 (\frac{5 π}{3 \cdot 4})) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 28.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{12}) = 8 \sin (\frac{5 π}{4}) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 28.2.1.2

$f (\frac{5 π}{12}) = 8 (- \sin (\frac{π}{4})) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 28.2.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 8 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 28.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ vào tử số.

$f (\frac{5 π}{12}) = 8 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 28.2.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 2 (4) (\frac{- \sqrt{2}}{2}) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 28.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{12}) = 2 \cdot (4 (\frac{- \sqrt{2}}{2})) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 28.2.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{12}) = 4 (- \sqrt{2}) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 28.2.1.5

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 28.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.2.1.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{3 (4)}))$

Bước 28.2.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{3 \cdot 4}))$

Bước 28.2.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 28.2.1.7

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 8 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Bước 28.2.1.8

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 8 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 28.2.1.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.2.1.9.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ vào tử số.

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 8 (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Bước 28.2.1.9.2

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 2 (4) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Bước 28.2.1.9.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 2 \cdot (4 (\frac{- \sqrt{2}}{2}))$

Bước 28.2.1.9.4

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 4 (- \sqrt{2})$

Bước 28.2.1.10

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Bước 28.2.2

Trừ $4 \sqrt{2}$ khỏi $- 4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 8 \sqrt{2}$

Bước 28.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 8 \sqrt{2}$ .

$y = - 8 \sqrt{2}$

Bước 29

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 8 \sin (3 x) + 8 \cos (3 x)$ .

$(\frac{π}{12}, 8 \sqrt{2})$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{5 π}{12}, - 8 \sqrt{2})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 30