Giải tích Ví dụ

$f (x) = 8 \sec (x) + 4 \tan (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 \sec (x) + 4 \tan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \sec (x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \tan (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \sec (x) \tan (x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Bước 2.2.3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Bước 2.2.4

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Bước 2.2.5

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Bước 2.2.5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Bước 2.2.5.2

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Bước 2.2.6

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Bước 2.2.7

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Bước 2.2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Bước 2.2.9

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \sec^{2} (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Bước 2.3.3

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Bước 2.3.4

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Bước 2.3.5

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Bước 2.3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Bước 2.3.7

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Bước 2.3.8

Nhân $2$ với $4$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 8 \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x) + 8 \sec^{3} (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) = 0$

Bước 4

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$8 \tan^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \sec (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \tan (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{3} (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Bước 6

Vì phép kiểm định đạo hàm bậc nhất thất bại, nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 7