Giải tích Ví dụ

$f (x) = x (9 - x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 9 - x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x (- (2 x)) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x (- 2 x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (x^{1} x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1}) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 x^{1 + 1} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \cdot 1$

Bước 1.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Nhân $9 - x^{2}$ với $1$ .

$- 2 x^{2} + 9 - x^{2}$

Bước 1.8.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 9$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 3 x^{2} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{2}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (9)$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $- 6 x$ và $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 3 x^{2} + 9 = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.2.2

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x (- (2 x)) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x (- 2 x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (x^{1} x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1}) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 x^{1 + 1} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \cdot 1$

Bước 4.1.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.8.1

Nhân $9 - x^{2}$ với $1$ .

$- 2 x^{2} + 9 - x^{2}$

Bước 4.1.8.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 3 x^{2} + 9$ .

$- 3 x^{2} + 9$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 3 x^{2} + 9 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 3 x^{2} + 9 = 0$

Bước 5.2

Trừ $9$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 3 x^{2} = - 9$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $- 3 x^{2} = - 9$ cho $- 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 3 x^{2} = - 9$ cho $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 3}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia $- 9$ cho $- 3$ .

$x^{2} = 3$

Bước 5.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{3}$

Bước 5.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{3}$

Bước 5.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{3}$

Bước 5.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \sqrt{3}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 6 \sqrt{3}$

Bước 9

$x = \sqrt{3}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \sqrt{3}$ là cực đại địa phương

Bước 10

Tìm giá trị y khi $x = \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế biến $x$ bằng $\sqrt{3}$ trong biểu thức.

$f (\sqrt{3}) = (\sqrt{3}) (9 - {(\sqrt{3})}^{2})$

Bước 10.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Bước 10.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Bước 10.2.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Bước 10.2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Bước 10.2.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3)$

Bước 10.2.1.1.5

Tính số mũ.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 1 \cdot 3)$

Bước 10.2.1.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3)$

Bước 10.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Trừ $3$ khỏi $9$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 6$

Bước 10.2.2.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = 6 \sqrt{3}$

Bước 10.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $6 \sqrt{3}$ .

$y = 6 \sqrt{3}$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - \sqrt{3}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 6 (- \sqrt{3})$

Bước 12

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$6 \sqrt{3}$

Bước 13

$x = - \sqrt{3}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - \sqrt{3}$ là cực tiểu địa phương

Bước 14

Tìm giá trị y khi $x = - \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \sqrt{3}$ trong biểu thức.

$f (- \sqrt{3}) = (- \sqrt{3}) (9 - {(- \sqrt{3})}^{2})$

Bước 14.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}))$

Bước 14.2.1.2

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.2.1

Di chuyển ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2}))$

Bước 14.2.1.2.2

Nhân ${(- 1)}^{2}$ với $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{3}}^{2}))$

Bước 14.2.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3}}^{2})$

Bước 14.2.1.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{2})$

Bước 14.2.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - {\sqrt{3}}^{2})$

Bước 14.2.1.4

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Bước 14.2.1.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Bước 14.2.1.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Bước 14.2.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Bước 14.2.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3)$

Bước 14.2.1.4.5

Tính số mũ.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 1 \cdot 3)$

Bước 14.2.1.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3)$

Bước 14.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1

Trừ $3$ khỏi $9$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} \cdot 6$

Bước 14.2.2.2

Nhân $6$ với $- 1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 6 \sqrt{3}$

Bước 14.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 6 \sqrt{3}$ .

$y = - 6 \sqrt{3}$

Bước 15

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x (9 - x^{2})$ .

$(\sqrt{3}, 6 \sqrt{3})$ là một cực đại địa phuơng

$(- \sqrt{3}, - 6 \sqrt{3})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 16