Giải tích Ví dụ

$f (x) = \tan (x) - x$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\tan (x) - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 1 + \sec^{2} (x)$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại $- 1$ và $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Bước 1.4.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\tan^{2} (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\tan (x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Bước 2.3

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\tan^{2} (x) = 0$

Bước 4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

Bước 5

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 5.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\tan (x) = \pm 0$

Bước 5.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$\tan (x) = 0$

Bước 6

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (0)$

Bước 7

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 8

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + 0$

Bước 9

Cộng $π$ và $0$ .

$x = π$

Bước 10

Đáp án của phương trình $x = 0$ .

$x = 0, π$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$2 \sec^{2} (0) \tan (0)$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$2 \cdot 1^{2} \tan (0)$

Bước 12.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 \cdot 1 \tan (0)$

Bước 12.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 \tan (0)$

Bước 12.4

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$2 \cdot 0$

Bước 12.5

Nhân $2$ với $0$ .

$0$

Bước 13

Vì phép kiểm định đạo hàm bậc nhất thất bại, nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 14