Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\cos (x^{2}) (2 x)$

Bước 1.2.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$2 x \cos (x^{2})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x \cos (x^{2})$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x^{2}))$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Bước 2.10

Nhân $\cos (x^{2})$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Bước 2.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

Bước 2.11.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$2 x \cos (x^{2}) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$\cos (x^{2}) = 0$

Bước 5

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 6

Đặt $\cos (x^{2})$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\cos (x^{2})$ bằng với $0$ .

$\cos (x^{2}) = 0$

Bước 6.2

Giải $\cos (x^{2}) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Thay $u$ bằng $x^{2}$ .

$\cos (u) = 0$

Bước 6.2.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $u$ từ trong cosin.

$u = \arccos (0)$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Bước 6.2.4

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$u = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.5

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$u = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.5.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 6.2.5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 6.2.5.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Bước 6.2.6

Đáp án của phương trình $u = \frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Bước 6.2.7

Thay $x^{2}$ cho $u$ và giải $x^{2} = \frac{π}{2}$

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{\frac{π}{2}}$

Bước 6.2.7.2

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{π}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.2.1

Viết lại $\sqrt{\frac{π}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

Bước 6.2.7.2.2

Nhân $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 6.2.7.2.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.2.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 6.2.7.2.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 6.2.7.2.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 6.2.7.2.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 6.2.7.2.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 6.2.7.2.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.2.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 6.2.7.2.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 6.2.7.2.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.2.7.2.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.2.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.2.7.2.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 6.2.7.2.3.6.5

Tính số mũ.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

Bước 6.2.7.2.4

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$x = \pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Bước 6.2.7.2.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Bước 6.2.7.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Bước 6.2.7.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Bước 6.2.7.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}, - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Bước 6.2.8

Thay $x^{2}$ cho $u$ và giải $x^{2} = \frac{3 π}{2}$

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

Bước 6.2.8.2

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.2.1

Viết lại $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

Bước 6.2.8.2.2

Nhân $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 6.2.8.2.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.2.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 6.2.8.2.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 6.2.8.2.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 6.2.8.2.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 6.2.8.2.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 6.2.8.2.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.2.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 6.2.8.2.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 6.2.8.2.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.2.8.2.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.2.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.2.8.2.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 6.2.8.2.3.6.5

Tính số mũ.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

Bước 6.2.8.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.2.4.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

Bước 6.2.8.2.4.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Bước 6.2.8.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Bước 6.2.8.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Bước 6.2.8.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 x \cos (x^{2}) = 0$ đúng.

$x = 0, \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 4 {(0)}^{2} \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 4 \cdot 0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Bước 9.1.2

Nhân $- 4$ với $0$ .

$0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Bước 9.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 \sin (0) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Bước 9.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0 \cdot 0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Bước 9.1.5

Nhân $0$ với $0$ .

$0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Bước 9.1.6

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + 2 \cos (0)$

Bước 9.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Bước 9.1.8

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + 2$

Bước 9.2

Cộng $0$ và $2$ .

$2$

Bước 10

$x = 0$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \sin ({(0)}^{2})$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = \sin (0)$

Bước 11.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f (0) = 0$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 4 {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.2

Viết lại ${\sqrt{6 π}}^{2}$ ở dạng $6 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6 π}$ ở dạng ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.2.5

Rút gọn.

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 (6 π) \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.5

Nhân $6$ với $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.7

Viết lại ${\sqrt{6 π}}^{2}$ ở dạng $6 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6 π}$ ở dạng ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.7.5

Rút gọn.

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.9

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 π$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.10

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.11

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.12

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.13

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 13.1.14

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Bước 13.1.15

Viết lại ${\sqrt{6 π}}^{2}$ ở dạng $6 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.15.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6 π}$ ở dạng ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Bước 13.1.15.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Bước 13.1.15.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Bước 13.1.15.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.15.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Bước 13.1.15.4.2

Viết lại biểu thức.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

Bước 13.1.15.5

Rút gọn.

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

Bước 13.1.16

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

Bước 13.1.17

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.17.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 π$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Bước 13.1.17.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.17.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Bước 13.1.17.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Bước 13.1.17.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 13.1.18

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

Bước 13.1.19

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

Bước 13.1.20

Nhân $2$ với $0$ .

$6 π + 0$

Bước 13.2

Cộng $6 π$ và $0$ .

$6 π$

Bước 14

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 15

Tìm giá trị y khi $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 15.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Bước 15.2.2

Viết lại ${\sqrt{6 π}}^{2}$ ở dạng $6 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6 π}$ ở dạng ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Bước 15.2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Bước 15.2.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Bước 15.2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Bước 15.2.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Bước 15.2.2.5

Rút gọn.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Bước 15.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

Bước 15.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 π$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Bước 15.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Bước 15.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Bước 15.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 15.2.5

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Bước 15.2.6

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

Bước 15.2.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

Bước 15.2.8

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$y = - 1$

Bước 16

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 4 {(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 4 (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.3

Nhân $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.4

Viết lại ${\sqrt{6 π}}^{2}$ ở dạng $6 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6 π}$ ở dạng ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.4.5

Rút gọn.

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 (6 π) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.7

Nhân $6$ với $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.8.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.8.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.9

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 6 π \sin (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.10

Nhân $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.11

Viết lại ${\sqrt{6 π}}^{2}$ ở dạng $6 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.11.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6 π}$ ở dạng ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.11.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.11.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.11.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.11.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.11.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.11.5

Rút gọn.

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.12

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.13

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 π$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.14

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.15

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.16

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.17

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.18

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.18.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 17.1.18.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Bước 17.1.19

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$6 π + 2 \cos (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Bước 17.1.20

Nhân $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Bước 17.1.21

Viết lại ${\sqrt{6 π}}^{2}$ ở dạng $6 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.21.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6 π}$ ở dạng ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Bước 17.1.21.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Bước 17.1.21.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Bước 17.1.21.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.21.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Bước 17.1.21.4.2

Viết lại biểu thức.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

Bước 17.1.21.5

Rút gọn.

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

Bước 17.1.22

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

Bước 17.1.23

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.23.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 π$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Bước 17.1.23.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.23.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Bước 17.1.23.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Bước 17.1.23.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 17.1.24

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

Bước 17.1.25

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

Bước 17.1.26

Nhân $2$ với $0$ .

$6 π + 0$

Bước 17.2

Cộng $6 π$ và $0$ .

$6 π$

Bước 18

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 19

Tìm giá trị y khi $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 19.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Bước 19.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

Bước 19.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (1 (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

Bước 19.2.2.2

Nhân $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Bước 19.2.3

Viết lại ${\sqrt{6 π}}^{2}$ ở dạng $6 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6 π}$ ở dạng ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Bước 19.2.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Bước 19.2.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Bước 19.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Bước 19.2.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Bước 19.2.3.5

Rút gọn.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Bước 19.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

Bước 19.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 π$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Bước 19.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Bước 19.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Bước 19.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 19.2.6

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Bước 19.2.7

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

Bước 19.2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

Bước 19.2.9

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$y = - 1$

Bước 20

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \sin (x^{2})$ .

$(0, 0)$ là một cực tiểu địa phương

$(\frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ là một cực tiểu địa phương

$(- \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 21