Giải tích Ví dụ

$f (x) = x + 3 \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \cos (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$1 + 3 (- \sin (x))$

Bước 1.2.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$1 - 3 \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 3 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \cos (x)$

Bước 2.3

Trừ $3 \cos (x)$ khỏi $0$ .

$f'' (x) = - 3 \cos (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$1 - 3 \sin (x) = 0$

Bước 4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 3 \sin (x) = - 1$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $- 3 \sin (x) = - 1$ cho $- 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $- 3 \sin (x) = - 1$ cho $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Bước 5.2.1.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 3}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

Bước 6

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

Bước 7

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x = 0.3398369$

Bước 8

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Bước 9

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

Bước 9.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Bước 9.3

Trừ $0.3398369$ khỏi $3.14159265$ .

$x = 2.80175574$

Bước 10

Đáp án của phương trình $x = 0.3398369$ .

$x = 0.3398369, 2.80175574$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0.3398369$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 3 \cos (0.3398369)$

Bước 12

$x = 0.3398369$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0.3398369$ là cực đại địa phương

Bước 13

Tìm giá trị y khi $x = 0.3398369$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.3398369$ trong biểu thức.

$f (0.3398369) = (0.3398369) + 3 \cos (0.3398369)$

Bước 13.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Cộng $0.3398369$ và $3 \cos (0.3398369)$ .

$f (0.3398369) = 3.16826403$

Bước 13.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $3.16826403$ .

$y = 3.16826403$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 2.80175574$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 3 \cos (2.80175574)$

Bước 15

$x = 2.80175574$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 2.80175574$ là cực tiểu địa phương

Bước 16

Tìm giá trị y khi $x = 2.80175574$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế biến $x$ bằng $2.80175574$ trong biểu thức.

$f (2.80175574) = (2.80175574) + 3 \cos (2.80175574)$

Bước 16.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Cộng $2.80175574$ và $3 \cos (2.80175574)$ .

$f (2.80175574) = - 0.02667138$

Bước 16.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.02667138$ .

$y = - 0.02667138$

Bước 17

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x + 3 \cos (x)$ .

$(0.3398369, 3.16826403)$ là một cực đại địa phuơng

$(2.80175574, - 0.02667138)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 18