Giải tích Ví dụ

$f (x) = x - b \ln (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - b \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- b$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- b \ln (x)$ đối với $x$ là $- b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$1 - b \frac{1}{x}$

Bước 1.2.3

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $b$ .

$1 - \frac{b}{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \frac{b}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x})$

Bước 2.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x})$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- b$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{b}{x}$ đối với $x$ là $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - b (- x^{- 2})$

Bước 2.2.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 b x^{- 2}$

Bước 2.2.5

Nhân $b$ với $1$ .

$f'' (x) = 0 + b x^{- 2}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + b (\frac{1}{x^{2}})$

Bước 2.3.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Kết hợp $b$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{b}{x^{2}}$

Bước 2.3.2.2

Cộng $0$ và $\frac{b}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{b}{x^{2}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$1 - \frac{b}{x} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - b \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Bước 4.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $- b$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- b \ln (x)$ đối với $x$ là $- b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 4.1.2.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$1 - b \frac{1}{x}$

Bước 4.1.2.3

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $b$ .

$f' (x) = 1 - \frac{b}{x}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $1 - \frac{b}{x}$ .

$1 - \frac{b}{x}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $1 - \frac{b}{x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$1 - \frac{b}{x} = 0$

Bước 5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{b}{x} = - 1$

Bước 5.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x, 1$

Bước 5.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x$

Bước 5.4

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{b}{x} = - 1$ với $x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{b}{x} = - 1$ với $x$ .

$- \frac{b}{x} x = - x$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{b}{x}$ vào tử số.

$\frac{- b}{x} x = - x$

Bước 5.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- b}{x} x = - x$

Bước 5.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- b = - x$

Bước 5.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- x = - b$ .

$- x = - b$

Bước 5.5.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - b$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - b$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- b}{- 1}$

Bước 5.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- b}{- 1}$

Bước 5.5.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- b}{- 1}$

Bước 5.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x = \frac{b}{1}$

Bước 5.5.2.3.2

Chia $b$ cho $1$ .

$x = b$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{b}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 6.2

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$b = 0$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = b$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = b$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{b}{{(b)}^{2}}$

Bước 9

Triệt tiêu thừa số chung của $b$ và ${(b)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nâng $b$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{b^{1}}{{(b)}^{2}}$

Bước 9.2

Đưa $b$ ra ngoài $b^{1}$ .

$\frac{b \cdot 1}{{(b)}^{2}}$

Bước 9.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Đưa $b$ ra ngoài ${(b)}^{2}$ .

$\frac{b \cdot 1}{b \cdot b}$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{b \cdot 1}{b \cdot b}$

Bước 9.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{b}$

Bước 10

Vì phép kiểm định đạo hàm bậc nhất thất bại, nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 11