Giải tích Ví dụ

$f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x \sin (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.2.4

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) - \sin (x)$

Bước 1.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Trừ $\sin (x)$ khỏi $\sin (x)$ .

$x \cos (x) + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $x \cos (x)$ và $0$ .

$x \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$

Bước 2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x)$

Bước 2.3.2.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = - x \sin (x) + \cos (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$x \cos (x) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$\cos (x) = 0$

Bước 5

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 6

Đặt $\cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\cos (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 6.2

Giải $\cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 6.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 6.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 6.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 6.2.5

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x \cos (x) = 0$ đúng.

$x = 0, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$0 \sin (0) + \cos (0)$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0 \cdot 0 + \cos (0)$

Bước 9.1.2

Nhân $0$ với $0$ .

$0 + \cos (0)$

Bước 9.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 + 1$

Bước 9.2

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 10

$x = 0$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = (0) \sin (0) + \cos (0)$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f (0) = 0 \cdot 0 + \cos (0)$

Bước 11.2.1.2

Nhân $0$ với $0$ .

$f (0) = 0 + \cos (0)$

Bước 11.2.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

Bước 11.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f (0) = 1$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$y = 1$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Bước 13.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Bước 13.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- \frac{π}{2} + 0$

Bước 13.2

Cộng $- \frac{π}{2}$ và $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Bước 14

$x = \frac{π}{2}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 15

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Bước 15.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Bước 15.2.1.2

Nhân $\frac{π}{2}$ với $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Bước 15.2.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Bước 15.2.2

Cộng $\frac{π}{2}$ và $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Bước 15.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Bước 16

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{3 π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{3 π}{2} \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 17

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- \frac{3 π}{2} (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 17.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- \frac{3 π}{2} (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 17.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 17.1.4

Nhân $- \frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 17.1.4.2

Nhân $\frac{3 π}{2}$ với $1$ .

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 17.1.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Bước 17.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$\frac{3 π}{2} + 0$

Bước 17.2

Cộng $\frac{3 π}{2}$ và $0$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 18

$x = \frac{3 π}{2}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{3 π}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 19

Tìm giá trị y khi $x = \frac{3 π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{3 π}{2}) = (\frac{3 π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 19.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 19.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 19.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 19.2.1.4

Nhân $\frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1.4.1

Kết hợp $\frac{3 π}{2}$ và $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π \cdot - 1}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 19.2.1.4.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 19.2.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Bước 19.2.1.6

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Bước 19.2.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + 0$

Bước 19.2.2

Cộng $- \frac{3 π}{2}$ và $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2}$

Bước 19.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3 π}{2}$ .

$y = - \frac{3 π}{2}$

Bước 20

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ là một cực tiểu địa phương

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 21