Giải tích Ví dụ

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2 \arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \arctan (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 - 2 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Bước 1.2.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 2}{1 + x^{2}}$

Bước 1.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Bước 1.3.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + x^{2} - 2}{1 + x^{2}}$

Bước 1.3.1.3

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}$

Bước 1.3.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} - 1$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2.7

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2.8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g'' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Trừ $2 x^{2} x$ khỏi $2 x^{2} x$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3.5.1.2

Cộng $2 \cdot 1 x$ và $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3.5.2.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3.5.3

Cộng $2 x$ và $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$

Bước 4

Cho tử bằng không.

$x^{2} - 1 = 0$

Bước 5

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 1$

Bước 5.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{1}$

Bước 5.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Bước 5.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Bước 5.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Bước 5.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 6

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{4 (1)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 7

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Bước 7.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{4}{2^{2}}$

Bước 7.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4}{4}$

Bước 7.3

Chia $4$ cho $4$ .

$1$

Bước 8

$x = 1$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 1$ là cực tiểu địa phương

Bước 9

Tìm giá trị y khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$g (1) = (1) - 2 \arctan (1)$

Bước 9.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$g (1) = 1 - 2 \frac{π}{4}$

Bước 9.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$g (1) = 1 + 2 (- 1) (\frac{π}{4})$

Bước 9.2.1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Bước 9.2.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Bước 9.2.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$g (1) = 1 - 1 \frac{π}{2}$

Bước 9.2.1.3

Viết lại $- 1 \frac{π}{2}$ ở dạng $- \frac{π}{2}$ .

$g (1) = 1 - \frac{π}{2}$

Bước 9.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $1 - \frac{π}{2}$ .

$y = 1 - \frac{π}{2}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{4 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{- 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 11.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{- 4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Bước 11.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 4}{2^{2}}$

Bước 11.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{- 4}{4}$

Bước 11.3

Chia $- 4$ cho $4$ .

$- 1$

Bước 12

$x = - 1$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - 1$ là cực đại địa phương

Bước 13

Tìm giá trị y khi $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$g (- 1) = (- 1) - 2 \arctan (- 1)$

Bước 13.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.1

Giá trị chính xác của $\arctan (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$g (- 1) = - 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Bước 13.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{4}$ vào tử số.

$g (- 1) = - 1 - 2 \frac{- π}{4}$

Bước 13.2.1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 (- 1) (\frac{- π}{4})$

Bước 13.2.1.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Bước 13.2.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Bước 13.2.1.2.5

Viết lại biểu thức.

$g (- 1) = - 1 - 1 \frac{- π}{2}$

Bước 13.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$g (- 1) = - 1 - 1 (- \frac{π}{2})$

Bước 13.2.1.4

Nhân $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (- 1) = - 1 + 1 (\frac{π}{2})$

Bước 13.2.1.4.2

Nhân $\frac{π}{2}$ với $1$ .

$g (- 1) = - 1 + \frac{π}{2}$

Bước 13.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 1 + \frac{π}{2}$ .

$y = - 1 + \frac{π}{2}$

Bước 14

Đây là những cực trị địa phương cho $g (x) = x - 2 \arctan (x)$ .

$(1, 1 - \frac{π}{2})$ là một cực tiểu địa phương

$(- 1, - 1 + \frac{π}{2})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 15