Giải tích Ví dụ

$u (y) = 20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{{(x)}^{2}}{1000} + \frac{(x) \cdot {(y)}^{2}}{100}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{x^{2}}{1000} + \frac{x y^{2}}{100}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

$\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Bước 1.2

Vì $20 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $20 x$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [70 \cdot (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $70$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $70 y$ đối với $y$ là $70 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 70 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Bước 1.3.3

Nhân $70$ với $1$ .

$0 + 70 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Bước 1.4

Vì $\frac{x^{2}}{1000}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{x^{2}}{1000}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Bước 1.5

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $\frac{x}{100}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{x y^{2}}{100}$ đối với $y$ là $\frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} (2 y)$

Bước 1.5.3

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{100}$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x}{100} y$

Bước 1.5.4

Kết hợp $\frac{2 x}{100}$ và $y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x y}{100}$

Bước 1.5.5

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $100$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{100}$

Bước 1.5.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $100$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Bước 1.5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Bước 1.5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + 70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Cộng $0$ và $70$ .

$70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Bước 1.6.1.2

Cộng $70$ và $0$ .

$70 + \frac{x y}{50}$

Bước 1.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x y}{50} + 70$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x y}{50} + 70$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{x y}{50}] + \frac{d}{d y} [70]$ .

$u'' (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x y}{50}) + \frac{d}{d y} (70)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{x y}{50}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{x}{50}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{x y}{50}$ đối với $y$ là $\frac{x}{50} \frac{d}{d y} [y]$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} \cdot \frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (70)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} \cdot 1 + \frac{d}{d y} (70)$

Bước 2.2.3

Nhân $\frac{x}{50}$ với $1$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} + \frac{d}{d y} (70)$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $70$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $70$ đối với $y$ là $0$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $\frac{x}{50}$ và $0$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{x y}{50} + 70 = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Bước 4.1.2

Vì $20 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $20 x$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [70 \cdot (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $70$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $70 y$ đối với $y$ là $70 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 70 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Bước 4.1.3.3

Nhân $70$ với $1$ .

$0 + 70 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Bước 4.1.4

Vì $\frac{x^{2}}{1000}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{x^{2}}{1000}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Bước 4.1.5

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Vì $\frac{x}{100}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{x y^{2}}{100}$ đối với $y$ là $\frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 4.1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} (2 y)$

Bước 4.1.5.3

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{100}$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x}{100} y$

Bước 4.1.5.4

Kết hợp $\frac{2 x}{100}$ và $y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x y}{100}$

Bước 4.1.5.5

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $100$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{100}$

Bước 4.1.5.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $100$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Bước 4.1.5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Bước 4.1.5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + 70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Bước 4.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1.1

Cộng $0$ và $70$ .

$70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Bước 4.1.6.1.2

Cộng $70$ và $0$ .

$70 + \frac{x y}{50}$

Bước 4.1.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (y) = \frac{x y}{50} + 70$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $u (y)$ đối với $y$ là $\frac{x y}{50} + 70$ .

$\frac{x y}{50} + 70$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{x y}{50} + 70 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{x y}{50} + 70 = 0$

Bước 5.2

Trừ $70$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{x y}{50} = - 70$

Bước 5.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $50$ .

$50 \frac{x y}{50} = 50 \cdot - 70$

Bước 5.4

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $50$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$50 \frac{x y}{50} = 50 \cdot - 70$

Bước 5.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x y = 50 \cdot - 70$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Nhân $50$ với $- 70$ .

$x y = - 3500$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $x y = - 3500$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $x y = - 3500$ cho $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- 3500}{x}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y}{x} = \frac{- 3500}{x}$

Bước 5.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- 3500}{x}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{3500}{x}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$y = - \frac{3500}{x}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $y = - \frac{3500}{x}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{x}{50}$

Bước 9

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $y$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Bước 9.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0$ , từ khoảng $(- \infty, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{x y}{50} + 70$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Thay thế biến $y$ bằng $0$ trong biểu thức.

$u' (0) = \frac{x (0)}{50} + 70$

Bước 9.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $50$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.1.1

Đưa $50$ ra ngoài $x (0)$ .

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50} + 70$

Bước 9.2.2.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.1.2.1

Đưa $50$ ra ngoài $50$ .

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50 (1)} + 70$

Bước 9.2.2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50 \cdot 1} + 70$

Bước 9.2.2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$u' (0) = \frac{x \cdot (0)}{1} + 70$

Bước 9.2.2.1.1.2.4

Chia $x \cdot (0)$ cho $1$ .

$u' (0) = x \cdot (0) + 70$

Bước 9.2.2.1.2

Nhân $x$ với $0$ .

$u' (0) = 0 + 70$

Bước 9.2.2.2

Cộng $0$ và $70$ .

$u' (0) = 70$

Bước 9.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $70$ .

$70$

Bước 9.3

Không tìm được cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương cho $u (y) = 20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{{(x)}^{2}}{1000} + \frac{(x) \cdot {(y)}^{2}}{100}$ .

Không có cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 10