Giải tích Ví dụ

$s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ đối với $t$ là $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = {(t - 1)}^{3}$ và $g (t) = 3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 t + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 1.3.2

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 1.3.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 1.3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 1.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 1.3.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{3}$ và $g (t) = t - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Bước 1.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Bước 1.5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Bước 1.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Bước 1.5.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

Bước 1.5.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

Bước 1.5.5.2

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 1.6.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 1.6.3.2

Kết hợp $\frac{3}{12}$ và ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 1.6.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 1.6.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 1.6.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 1.6.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 1.6.3.4

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 1.6.3.5

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

Bước 1.6.3.6

Kết hợp ${(t - 1)}^{2}$ và $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

Bước 1.6.3.7

Để viết $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

Bước 1.6.3.8

Kết hợp $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Bước 1.6.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Bước 1.6.3.10

Kết hợp $4$ và $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

Bước 1.6.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.11.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

Bước 1.6.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.11.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Bước 1.6.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Bước 1.6.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

Bước 1.6.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 1.6.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 1.6.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.2.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 1.6.5.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 1.6.5.2.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 1.6.5.2.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 1.6.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 1.6.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 1.6.5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 1.6.5.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 1.6.5.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 1.6.5.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.6.1

Viết lại ${(t - 1)}^{2}$ ở dạng $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.2

Khai triển $(t - 1) (t - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.6.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.6.3.1.1

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.3.1.3

Viết lại $- 1 t$ ở dạng $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.3.1.4

Viết lại $- 1 t$ ở dạng $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.3.2

Trừ $t$ khỏi $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.6.5.1

Nhân $t$ với $t^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.6.5.1.1

Di chuyển $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.5.1.2

Nhân $t^{2}$ với $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.6.5.1.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.5.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.5.1.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.5.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.5.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.6.6.1

Nhân $t$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.6.6.1.1

Di chuyển $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.6.1.2

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.6.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.5.6.7

Viết lại ${(t - 1)}^{2}$ ở dạng $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

Bước 1.6.5.6.8

Khai triển $(t - 1) (t - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.6.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

Bước 1.6.5.6.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

Bước 1.6.5.6.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Bước 1.6.5.6.9

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.6.9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.6.9.1.1

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Bước 1.6.5.6.9.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Bước 1.6.5.6.9.1.3

Viết lại $- 1 t$ ở dạng $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Bước 1.6.5.6.9.1.4

Viết lại $- 1 t$ ở dạng $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

Bước 1.6.5.6.9.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

Bước 1.6.5.6.9.2

Trừ $t$ khỏi $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

Bước 1.6.5.7

Cộng $- 6 t^{2}$ và $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

Bước 1.6.5.8

Trừ $2 t$ khỏi $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Bước 1.6.5.9

Cộng $t^{3}$ và $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Bước 1.6.5.10

Trừ $5 t^{2}$ khỏi $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

Bước 1.6.5.11

Cộng $3 t$ và $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

Bước 1.6.5.12

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

Bước 1.6.5.13

Cộng $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ và $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Bước 1.6.5.14

Viết lại $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.14.1

Đưa $4 t$ ra ngoài $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.14.1.1

Đưa $4 t$ ra ngoài $4 t^{3}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Bước 1.6.5.14.1.2

Đưa $4 t$ ra ngoài $- 8 t^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

Bước 1.6.5.14.1.3

Đưa $4 t$ ra ngoài $4 t$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Bước 1.6.5.14.1.4

Đưa $4 t$ ra ngoài $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Bước 1.6.5.14.1.5

Đưa $4 t$ ra ngoài $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

Bước 1.6.5.14.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.14.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

Bước 1.6.5.14.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Bước 1.6.5.14.2.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

Bước 1.6.5.14.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = t$ và $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.6

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 1.6.6.2

Chia $t {(t - 1)}^{2}$ cho $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

Bước 1.6.7

Viết lại ${(t - 1)}^{2}$ ở dạng $(t - 1) (t - 1)$ .

$t ((t - 1) (t - 1))$

Bước 1.6.8

Khai triển $(t - 1) (t - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

Bước 1.6.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

Bước 1.6.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Bước 1.6.9

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.9.1.1

Nhân $t$ với $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Bước 1.6.9.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Bước 1.6.9.1.3

Viết lại $- 1 t$ ở dạng $- t$ .

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Bước 1.6.9.1.4

Viết lại $- 1 t$ ở dạng $- t$ .

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

Bước 1.6.9.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

Bước 1.6.9.2

Trừ $t$ khỏi $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

Bước 1.6.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Bước 1.6.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.11.1

Nhân $t$ với $t^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.11.1.1

Nhân $t$ với $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.11.1.1.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Bước 1.6.11.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Bước 1.6.11.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Bước 1.6.11.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

Bước 1.6.11.3

Nhân $t$ với $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

Bước 1.6.12

Nhân $t$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.12.1

Di chuyển $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

Bước 1.6.12.2

Nhân $t$ với $t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{3} - 2 t^{2} + t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$s'' (t) = \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 2 t^{2}$ đối với $t$ là $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (t)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 (2 t) + \frac{d}{d t} (t)$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + \frac{d}{d t} (t)$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + 1$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ đối với $t$ là $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

Bước 4.1.2

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 t + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 4.1.3.2

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 4.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 4.1.3.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 4.1.3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 4.1.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 4.1.3.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{3}$ và $g (t) = t - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Bước 4.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Bước 4.1.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Bước 4.1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Bước 4.1.5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Bước 4.1.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Bước 4.1.5.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

Bước 4.1.5.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

Bước 4.1.5.5.2

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 4.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 4.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 4.1.6.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.3.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 4.1.6.3.2

Kết hợp $\frac{3}{12}$ và ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 4.1.6.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 4.1.6.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 4.1.6.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 4.1.6.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 4.1.6.3.4

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Bước 4.1.6.3.5

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

Bước 4.1.6.3.6

Kết hợp ${(t - 1)}^{2}$ và $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

Bước 4.1.6.3.7

Để viết $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

Bước 4.1.6.3.8

Kết hợp $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Bước 4.1.6.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Bước 4.1.6.3.10

Kết hợp $4$ và $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

Bước 4.1.6.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.3.11.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

Bước 4.1.6.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.3.11.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Bước 4.1.6.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Bước 4.1.6.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

Bước 4.1.6.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 4.1.6.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 4.1.6.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.2.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 4.1.6.5.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 4.1.6.5.2.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 4.1.6.5.2.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 4.1.6.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 4.1.6.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 4.1.6.5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 4.1.6.5.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 4.1.6.5.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Bước 4.1.6.5.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.6.1

Viết lại ${(t - 1)}^{2}$ ở dạng $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.2

Khai triển $(t - 1) (t - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.6.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.6.3.1.1

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.3.1.3

Viết lại $- 1 t$ ở dạng $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.3.1.4

Viết lại $- 1 t$ ở dạng $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.3.2

Trừ $t$ khỏi $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.6.5.1

Nhân $t$ với $t^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.6.5.1.1

Di chuyển $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.5.1.2

Nhân $t^{2}$ với $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.6.5.1.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.5.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.5.1.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.5.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.5.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.6.6.1

Nhân $t$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.6.6.1.1

Di chuyển $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.6.1.2

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.6.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.7

Viết lại ${(t - 1)}^{2}$ ở dạng $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.8

Khai triển $(t - 1) (t - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.6.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.9

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.6.9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.6.9.1.1

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.9.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.9.1.3

Viết lại $- 1 t$ ở dạng $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.9.1.4

Viết lại $- 1 t$ ở dạng $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.9.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

Bước 4.1.6.5.6.9.2

Trừ $t$ khỏi $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

Bước 4.1.6.5.7

Cộng $- 6 t^{2}$ và $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

Bước 4.1.6.5.8

Trừ $2 t$ khỏi $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Bước 4.1.6.5.9

Cộng $t^{3}$ và $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Bước 4.1.6.5.10

Trừ $5 t^{2}$ khỏi $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

Bước 4.1.6.5.11

Cộng $3 t$ và $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

Bước 4.1.6.5.12

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

Bước 4.1.6.5.13

Cộng $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ và $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Bước 4.1.6.5.14

Viết lại $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.14.1

Đưa $4 t$ ra ngoài $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.14.1.1

Đưa $4 t$ ra ngoài $4 t^{3}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Bước 4.1.6.5.14.1.2

Đưa $4 t$ ra ngoài $- 8 t^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

Bước 4.1.6.5.14.1.3

Đưa $4 t$ ra ngoài $4 t$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Bước 4.1.6.5.14.1.4

Đưa $4 t$ ra ngoài $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Bước 4.1.6.5.14.1.5

Đưa $4 t$ ra ngoài $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

Bước 4.1.6.5.14.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.5.14.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

Bước 4.1.6.5.14.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Bước 4.1.6.5.14.2.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

Bước 4.1.6.5.14.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = t$ và $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.6

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Bước 4.1.6.6.2

Chia $t {(t - 1)}^{2}$ cho $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

Bước 4.1.6.7

Viết lại ${(t - 1)}^{2}$ ở dạng $(t - 1) (t - 1)$ .

$t ((t - 1) (t - 1))$

Bước 4.1.6.8

Khai triển $(t - 1) (t - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

Bước 4.1.6.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

Bước 4.1.6.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Bước 4.1.6.9

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.9.1.1

Nhân $t$ với $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Bước 4.1.6.9.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Bước 4.1.6.9.1.3

Viết lại $- 1 t$ ở dạng $- t$ .

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Bước 4.1.6.9.1.4

Viết lại $- 1 t$ ở dạng $- t$ .

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

Bước 4.1.6.9.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

Bước 4.1.6.9.2

Trừ $t$ khỏi $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

Bước 4.1.6.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Bước 4.1.6.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.11.1

Nhân $t$ với $t^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.11.1.1

Nhân $t$ với $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.11.1.1.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Bước 4.1.6.11.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Bước 4.1.6.11.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Bước 4.1.6.11.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

Bước 4.1.6.11.3

Nhân $t$ với $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

Bước 4.1.6.12

Nhân $t$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.12.1

Di chuyển $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

Bước 4.1.6.12.2

Nhân $t$ với $t$ .

$f' (t) = t^{3} - 2 t^{2} + t$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $s (t)$ đối với $t$ là $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

Bước 5.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $t$ ra ngoài $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Đưa $t$ ra ngoài $t^{3}$ .

$t \cdot t^{2} - 2 t^{2} + t = 0$

Bước 5.2.1.2

Đưa $t$ ra ngoài $- 2 t^{2}$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

Bước 5.2.1.3

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

Bước 5.2.1.4

Đưa $t$ ra ngoài $t^{1}$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1 = 0$

Bước 5.2.1.5

Đưa $t$ ra ngoài $t \cdot t^{2} + t (- 2 t)$ .

$t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1 = 0$

Bước 5.2.1.6

Đưa $t$ ra ngoài $t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1) = 0$

Bước 5.2.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1^{2}) = 0$

Bước 5.2.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Bước 5.2.2.3

Viết lại đa thức này.

$t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 5.2.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = t$ và $b = 1$ .

$t {(t - 1)}^{2} = 0$

Bước 5.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$t = 0$

${(t - 1)}^{2} = 0$

Bước 5.4

Đặt $t$ bằng với $0$ .

$t = 0$

Bước 5.5

Đặt ${(t - 1)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đặt ${(t - 1)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(t - 1)}^{2} = 0$

Bước 5.5.2

Giải ${(t - 1)}^{2} = 0$ để tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Đặt $t - 1$ bằng $0$ .

$t - 1 = 0$

Bước 5.5.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$t = 1$

Bước 5.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $t {(t - 1)}^{2} = 0$ đúng.

$t = 0, 1$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$t = 0, 1$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $t = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Bước 9.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 + 1$

Bước 9.1.3

Nhân $- 4$ với $0$ .

$0 + 0 + 1$

Bước 9.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + 1$

Bước 9.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 10

$t = 0$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$t = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $t = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $t$ bằng $0$ trong biểu thức.

$s (0) = \frac{{((0) - 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

Bước 11.2.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (0 + 1)}{12}$

Bước 11.2.1.3

Cộng $0$ và $1$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 1}{12}$

Bước 11.2.1.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$s (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{12}$

Bước 11.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$s (0) = \frac{- 1}{12}$

Bước 11.2.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$s (0) = - \frac{1}{12}$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $t = 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$3 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 1$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 1$

Bước 13.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$3 - 4 \cdot 1 + 1$

Bước 13.1.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$3 - 4 + 1$

Bước 13.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$- 1 + 1$

Bước 13.2.2

Cộng $- 1$ và $1$ .

$0$

Bước 14

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $t$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 14.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $t^{3} - 2 t^{2} + t$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Thay thế biến $t$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Bước 14.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Bước 14.2.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Bước 14.2.2.2.2

Nhân $- 2$ với ${(- 2)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.2.2.1

Nhân $- 2$ với ${(- 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.2.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $1$ .

$s' (- 2) = - 8 + (- 2) {(- 2)}^{2} - 2$

Bước 14.2.2.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{1 + 2} - 2$

Bước 14.2.2.2.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{3} - 2$

Bước 14.2.2.2.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 8 - 2$

Bước 14.2.2.3

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.3.1

Trừ $8$ khỏi $- 8$ .

$s' (- 2) = - 16 - 2$

Bước 14.2.2.3.2

Trừ $2$ khỏi $- 16$ .

$s' (- 2) = - 18$

Bước 14.2.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 18$ .

$- 18$

Bước 14.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0.5$ , từ khoảng $(0, 1)$ trong đạo hàm đầu tiên $t^{3} - 2 t^{2} + t$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Thay thế biến $t$ bằng $0.5$ trong biểu thức.

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Bước 14.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Bước 14.3.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.2.1

Nâng $0.5$ lên lũy thừa $3$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Bước 14.3.2.2.2

Nâng $0.5$ lên lũy thừa $2$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 \cdot 0.25 + 0.5$

Bước 14.3.2.2.3

Nhân $- 2$ với $0.25$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 0.5 + 0.5$

Bước 14.3.2.3

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.3.1

Trừ $0.5$ khỏi $0.125$ .

$s' (0.5) = - 0.375 + 0.5$

Bước 14.3.2.3.2

Cộng $- 0.375$ và $0.5$ .

$s' (0.5) = 0.125$

Bước 14.3.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0.125$ .

$0.125$

Bước 14.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $4$ , từ khoảng $(1, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $t^{3} - 2 t^{2} + t$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Thay thế biến $t$ bằng $4$ trong biểu thức.

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Bước 14.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Bước 14.4.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.2.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$s' (4) = 64 - 2 {(4)}^{2} + 4$

Bước 14.4.2.2.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$s' (4) = 64 - 2 \cdot 16 + 4$

Bước 14.4.2.2.3

Nhân $- 2$ với $16$ .

$s' (4) = 64 - 32 + 4$

Bước 14.4.2.3

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.3.1

Trừ $32$ khỏi $64$ .

$s' (4) = 32 + 4$

Bước 14.4.2.3.2

Cộng $32$ và $4$ .

$s' (4) = 36$

Bước 14.4.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $36$ .

$36$

Bước 14.5

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $t = 0$ , nên $t = 0$ là một cực tiểu địa phương.

$t = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 14.6

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $t = 1$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 14.7

Đây là những cực trị địa phương cho $s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ .

$t = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 15