Giải tích Ví dụ

$r (t) = (3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $(3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ .

$\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $3 i$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 \sin (t) i$ đối với $t$ là $3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\sin (t)$ đối với $t$ là $\cos (t)$ .

$3 i \cos (t) + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 5 j$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 5 \cos (3 t) j$ đối với $t$ là $- 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$ .

$3 i \cos (t) - 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \cos (t)$ và $g (t) = 3 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 t$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Bước 1.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 t$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Bước 1.3.3

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Bước 1.3.5

Nhân $3$ với $1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Bước 1.3.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- 3 \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Bước 1.3.7

Nhân $- 3$ với $- 5$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $k$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $e^{- 7 t} k$ đối với $t$ là $k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - 7 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 7 t$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Bước 1.4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Bước 1.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 7 t$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Bước 1.4.3

Vì $- 7$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 7 t$ đối với $t$ là $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} [t]))$

Bước 1.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

Bước 1.4.5

Nhân $- 7$ với $1$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

Bước 1.4.6

Di chuyển $- 7$ sang phía bên trái của $e^{- 7 t}$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (- 7 e^{- 7 t})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$

Bước 1.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)] + \frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ .

$r'' (t) = \frac{d}{d t} (3 i \cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $3 i$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 i \cos (t)$ đối với $t$ là $3 i \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$r'' (t) = 3 i \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (t)$ đối với $t$ là $- \sin (t)$ .

$r'' (t) = 3 i (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Bước 2.2.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $15 j$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $15 j \sin (3 t)$ đối với $t$ là $15 j \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j \frac{d}{d t} (\sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \sin (t)$ và $g (t) = 3 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Bước 2.3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Bước 2.3.3

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} (t))) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Bước 2.3.5

Nhân $3$ với $1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Bước 2.3.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (3 t)$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (3 \cdot \cos (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Bước 2.3.7

Nhân $3$ với $15$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 7 k$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 7 k e^{- 7 t}$ đối với $t$ là $- 7 k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k \frac{d}{d t} e^{- 7 t}$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - 7 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 7 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Bước 2.4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Bước 2.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 7 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Bước 2.4.3

Vì $- 7$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 7 t$ đối với $t$ là $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} t))$

Bước 2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

Bước 2.4.5

Nhân $- 7$ với $1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

Bước 2.4.6

Di chuyển $- 7$ sang phía bên trái của $e^{- 7 t}$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (- 7 \cdot e^{- 7 t})$

Bước 2.4.7

Nhân $- 7$ với $- 7$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + 49 k e^{- 7 t}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t} = 0$

Bước 4

Tính đạo hàm bậc hai tại $t = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 3 i \sin (0) + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Bước 5

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 3 i \cdot 0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Bước 5.1.2

Nhân $0$ với $- 3$ .

$0 i + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Bước 5.1.3

Nhân $0$ với $i$ .

$0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Bước 5.1.4

Nhân $3$ với $0$ .

$0 + 45 j \cos (0) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Bước 5.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 + 45 j \cdot 1 + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Bước 5.1.6

Nhân $45$ với $1$ .

$0 + 45 j + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Bước 5.1.7

Nhân $- 7$ với $0$ .

$0 + 45 j + 49 k e^{0}$

Bước 5.1.8

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 + 45 j + 49 k \cdot 1$

Bước 5.1.9

Nhân $49$ với $1$ .

$0 + 45 j + 49 k$

Bước 5.2

Cộng $0$ và $45 j$ .

$45 j + 49 k$

Bước 6

Vì phép kiểm định đạo hàm bậc nhất thất bại, nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 7