Giải tích Ví dụ

$k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \cos (x) - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 1.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) - \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 \sin (x) - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$k'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + 1 \sin (x)$

Bước 2.3.4

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 2 \sin (x) - \cos (x) = 0$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5

Tách các phân số.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7

Chia $- 2$ cho $1$ .

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 8

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 8.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 9

Tách các phân số.

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 10

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 11

Chia $0$ cho $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Bước 12

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0$

Bước 13

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 2 \tan (x) = 1$

Bước 14

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \tan (x) = 1$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \tan (x) = 1$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Bước 14.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Bước 14.2.1.2

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 2}$

Bước 14.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\tan (x) = - \frac{1}{2}$

Bước 15

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- \frac{1}{2})$

Bước 16

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Tính $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$x = - 0.4636476$

Bước 17

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

Bước 18

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Cộng $2 π$ vào $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

Bước 18.2

Góc tìm được $2.67794504$ dương và có cùng cạnh cuối với $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = 2.67794504$

Bước 19

Đáp án của phương trình $x = - 0.4636476$ .

$x = - 0.4636476, 2.67794504$

Bước 20

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 0.4636476$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \cos (- 0.4636476) + \sin (- 0.4636476)$

Bước 21

$x = - 0.4636476$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - 0.4636476$ là cực đại địa phương

Bước 22

Tìm giá trị y khi $x = - 0.4636476$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.4636476$ trong biểu thức.

$k (- 0.4636476) = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

Bước 22.2

Câu trả lời cuối cùng là $2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$ .

$y = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

Bước 23

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 2.67794504$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \cos (2.67794504) + \sin (2.67794504)$

Bước 24

$x = 2.67794504$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 2.67794504$ là cực tiểu địa phương

Bước 25

Tìm giá trị y khi $x = 2.67794504$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Thay thế biến $x$ bằng $2.67794504$ trong biểu thức.

$k (2.67794504) = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

Bước 25.2

Câu trả lời cuối cùng là $2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$ .

$y = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

Bước 26

Đây là những cực trị địa phương cho $k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$ .

$(- 0.4636476, 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476))$ là một cực đại địa phuơng

$(2.67794504, 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504))$ là một cực tiểu địa phương

Bước 27