Giải tích Ví dụ

$k (x) = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Bước 1.4

Rút gọn.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 1.5

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 1.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 1.6.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 1.7

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 1.7.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 1.7.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 1.7.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 1.7.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 1.8

Nhân $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ với $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 1.9

Kết hợp.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Bước 1.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Bước 1.11

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Bước 1.11.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Bước 1.12

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Bước 1.12.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Bước 1.12.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Bước 1.12.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Bước 1.12.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.14

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.15

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.17

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.17.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.17.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.18

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.18.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.18.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.18.3

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.18.4

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.18.5

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.18.6

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.18.7

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.19

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.19.1

Viết lại $\frac{\ln (x)}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$\frac{1 - (\frac{1}{2} \ln (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.19.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (x)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.2.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x^{\frac{1}{2}})$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.4

Kết hợp $x^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.5

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.6

Nhân $x^{\frac{3}{2}}$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.6.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3 - 1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.6.3

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.6.4

Chia $2$ cho $2$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.7

Rút gọn $x^{1}$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.9

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.10

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.12.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.14

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.15

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.16

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.16.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.16.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.16.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.16.4

Cộng $- 1$ và $2$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Bước 2.17

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

Bước 2.18

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

Bước 2.19

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Bước 2.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Bước 2.21

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.21.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

Bước 2.21.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

Bước 2.22

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

Bước 2.23

Để viết $- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2}}{x^{3}}$

Bước 2.24

Kết hợp $- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ và $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{3}}$

Bước 2.25

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{3}}$

Bước 2.26

Nhân $2$ với $- 1$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 2 (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2}}{x^{3}}$

Bước 2.27

Kết hợp $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ và $- 2$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Bước 2.28

Nhân $- 2$ với $3$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Bước 2.29

Đưa $2$ ra ngoài $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Bước 2.30

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.30.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Bước 2.30.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Bước 2.30.3

Viết lại biểu thức.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{1} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Bước 2.30.4

Chia $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Bước 2.31

Viết lại $\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$ ở dạng một tích.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

Bước 2.32

Nhân $\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$ với $\frac{1}{x^{3}}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Bước 2.33

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.33.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Bước 2.33.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.33.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.33.2.1.1

Nhân $- 3$ với $1$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Bước 2.33.2.1.2

Nhân $- 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.33.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

Bước 2.33.2.1.2.2

Rút gọn $3 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{3})}{2 x^{3}}$

Bước 2.33.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.33.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 3})}{2 x^{3}}$

Bước 2.33.2.1.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})}{2 x^{3}}$

Bước 2.33.2.2

Trừ $3 x^{\frac{1}{2}}$ khỏi $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})}{2 x^{3}}$

Bước 2.33.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Bước 2.33.4

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.33.4.1

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) - 4 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Bước 2.33.4.2

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4}{2 x^{3}}$

Bước 2.33.4.3

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4)}{2 x^{3}}$

Bước 2.33.5

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

Bước 2.33.6

Nhân $x^{3}$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.33.6.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

Bước 2.33.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Bước 2.33.6.3

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Bước 2.33.6.4

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Bước 2.33.6.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Bước 2.33.6.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.33.6.6.1

Nhân $3$ với $2$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Bước 2.33.6.6.2

Cộng $- 1$ và $6$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 4.1.2

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Bước 4.1.4

Rút gọn.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 4.1.5

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 4.1.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 4.1.6.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 4.1.7

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 4.1.7.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 4.1.7.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 4.1.7.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 4.1.7.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 4.1.8

Nhân $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ với $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 4.1.9

Kết hợp.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Bước 4.1.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Bước 4.1.11

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Bước 4.1.11.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Bước 4.1.12

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.12.1

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.12.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Bước 4.1.12.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Bước 4.1.12.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Bước 4.1.12.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Bước 4.1.12.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.14

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.15

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.17

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.17.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.17.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.18

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.18.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.18.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.18.3

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.18.4

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.18.5

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.18.6

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.18.7

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.19

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.19.1

Viết lại $\frac{\ln (x)}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$\frac{1 - (\frac{1}{2} \ln (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.1.19.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (x)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $k (x)$ đối với $x$ là $\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 5.2

Cho tử bằng không.

$1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Bước 5.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Bước 5.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{\frac{1}{2}})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ cho $1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) = 1$

Bước 5.3.3

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})} = e^{1}$

Bước 5.3.4

Viết lại $\ln (x^{\frac{1}{2}}) = 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{\frac{1}{2}}$

Bước 5.3.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{\frac{1}{2}} = e^{1}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = e$

Bước 5.3.5.2

Lấy mũ lũy thừa $2$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{1})}^{2}$

Bước 5.3.5.3

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.3.1.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.3.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.3.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{1})}^{2}$

Bước 5.3.5.3.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.3.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{1})}^{2}$

Bước 5.3.5.3.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = {(e^{1})}^{2}$

Bước 5.3.5.3.1.1.2

Rút gọn.

$x = {(e^{1})}^{2}$

Bước 5.3.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.3.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{1})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.3.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = e^{1 \cdot 2}$

Bước 5.3.5.3.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = e^{2}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x^{1}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 6.1.2

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x^{1}})}{\sqrt{x^{3}}}$

Bước 6.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}}}$

Bước 6.2

Đặt mẫu số trong $\frac{1 - \ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt{x^{3}} = 0$

Bước 6.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Bước 6.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{3}}$ ở dạng $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 6.3.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 6.3.2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{3} = 0^{2}$

Bước 6.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x^{3} = 0$

Bước 6.3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 6.3.3.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 6.3.3.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 6.4

Đặt đối số trong $\ln (\sqrt{x})$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt{x} \leq 0$

Bước 6.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${\sqrt{x}}^{2} \leq 0^{2}$

Bước 6.5.2

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Bước 6.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.2.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Bước 6.5.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Bước 6.5.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} \leq 0^{2}$

Bước 6.5.2.2.1.2

Rút gọn.

$x \leq 0^{2}$

Bước 6.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x \leq 0$

Bước 6.6

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ nhỏ hơn $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x < 0$

Bước 6.7

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x^{3}}$ nhỏ hơn $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} < 0$

Bước 6.8

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Bước 6.8.2

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x < \sqrt[3]{0}$

Bước 6.8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.2.1

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 6.8.2.2.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x < 0$

Bước 6.9

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = e^{2}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = e^{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{\ln ({(e^{2})}^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (e^{2 (\frac{3}{2})}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Bước 9.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (e^{2 (\frac{3}{2})}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Bước 9.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (e^{3}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Bước 9.1.2

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $3$ ra khỏi số mũ.

$\frac{3 \ln (e) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Bước 9.1.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Bước 9.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{3 - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Bước 9.1.5

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$\frac{- 1}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Bước 9.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{2})}^{\frac{5}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1}{2 e^{2 (\frac{5}{2})}}$

Bước 9.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{2 e^{2 (\frac{5}{2})}}$

Bước 9.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{2 e^{5}}$

Bước 9.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{2 e^{5}}$

Bước 10

$x = e^{2}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = e^{2}$ là cực đại địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = e^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $e^{2}$ trong biểu thức.

$k (e^{2}) = \frac{\ln (e^{2})}{\sqrt{e^{2}}}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$k (e^{2}) = \frac{\ln (e^{2})}{\sqrt{e^{2}}}$

Bước 11.2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $2$ ra khỏi số mũ.

$k (e^{2}) = \frac{2 \ln (e)}{\sqrt{e^{2}}}$

Bước 11.2.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$k (e^{2}) = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{e^{2}}}$

Bước 11.2.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$k (e^{2}) = \frac{2}{\sqrt{e^{2}}}$

Bước 11.2.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$k (e^{2}) = \frac{2}{e}$

Bước 11.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2}{e}$ .

$y = \frac{2}{e}$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $k (x) = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ .

$(e^{2}, \frac{2}{e})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 13